Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя это в (6.5.35), получаем
D = ]dt\da da аар(а', t \ a, 0)ps(a), (6.5.40)
о
т. е.
D = \ dt <a(/)a(0)>s ,
(6.5.41)
а в силу (6.5.8) и симметрии корреляционной функции
?>=1/2. (6.5.42)
Используя это значение D, находим
PL2LT'L2v = у р,(а) ~
Ь(х) ^Ь(х)р(х)
(6.5.43)
так что дифференциальным уравнением для
р(х, t) = J da р(х, а) , (6.5.44)
соответствующим (6.5.28), является
з7 = ~ feа(х)р(х) + т кЬ{х) кЬ{хШх) ¦ (6-5-45)
Это не что иное, как УФП в форме Стратоновича, которое соответствует стохастическому дифференциальному уравнению
(5) dx = a(x)dt + b{x)dW(t) , (6.5.46)
или, в форме Ито,
dx = [й(х) + \b'{x)b{x)]dt + b(x)dW(t), (6.5.47)
как указывалось вначале.
6.5.1 ОБЩНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА
Достаточно взглянуть на доказательство, чтобы увидеть, что от a(t) требовалось лишь быть стационарным марковским процессом с нулевым средним и уравнением движения вида
^ = LlP(a), (6.5.48)
270 Глава 6
где L, — линейный оператор. Этим требованиям может отвечать любой марковский процесс, в частности случайный телеграфный процесс, в котором a(t) принимает значения ±а. В пределе 7—00 результат по-прежнему будет представлять собой уравнение Фоккера — Планка. Это является следствием центральной предельной теоремы. Действительно, эффективный гауссовский белый.шум складывается из суммы многих отдельных компонент, когда у — оо, и суммарный результат будет все равно гауссовским. Более того, Папаниколау и Колер [6.7] строго доказали, что полученный вывод справедлив, даже если а(0 не является марковским процессом при условии «сильного перемешивания», т. е. когда все корреляционные функции с увеличением разности времен быстро убывают.
6.5.2. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Заметим, что в (6.5.1) вместо a0(t) в виде ya(t/y2) мы можем взять более общее выражение
и принять b(x) — 1, поскольку теперь всю зависимость от х можно учесть в определении ф. Будем предполагать, что
по аналогии с нашим прежним предположением <a>s = 0. Тогда D становится зависящим от х и мы должны принять
«о(Л х) = уц/\х, a(t/y2)] , b = 1
(6.5.49)
J da >{/(х, a)ps(a) = 0
(6.5.50)
D(x) == J dt <(//[*, a(t)\y/[x, a(0)]> .
(6.5.51)
0
И
(6.5.52)
Уравнение Фоккера — Планка принимает вид
= - А [ [а(х) + Е(х)}р) + [D(x)p] .
(6.5.53)
и согласуется с уравнением в форме, полученной Стратоновичем (формулы (4.160, 161) в [6.3]).
Приближенные методы для диффузионных процессов 271
6.5.3. СИСТЕМЫ, НЕОДНОРОДНЫЕ ВО ВРЕМЕНИ Если вместо (6.5.1) принять
= а(х, О + b(x, t)a0(t),
(6.5.54)
то преобразование Лапласа простым образом применить не удастся. Трудность можно обойти с помощью следующего приема. Введем дополнительную переменную т, с которой уравнения примут вид
Последнее равенство устанавливает эквивалентность t и т, однако система теперь является однородным марковским процессом в переменных х, a, t. С помощью этого приема любой неоднородный марковский процесс может быть преобразован в однородный. Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
dx = [а(х, т) + yb(x, z)a\dt
(6.5.55)
da = y2A(a)dt + у у/ В(а) d\V(t)
(6.5.56)
dr = dt.
(6.5.57)
gj — y2Lt + yL2 + L} >
(6.5.58)
где
L
(6.5.59)
L
(6.5.60)
(6.5.61)
Действуя так же, как и раньше, получаем
(6.5.62)
откуда dx = dt,
(6.5.63)
272 Глава 6
и, выражая г через t, мы приходим к
др
dt
~rxa(x’t) + Y ГхЬ(х’1)ГхЬ(х’1)
(6.5.64)
в точном соответствии с (6.5.45).
6.5.4. УЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ ?, ОТ ВРЕМЕНИ
Предположим вдобавок, что А и В также зависят от времени, так что
(6.5.65)
I — ^ к \ \ 1 — т \
L, - даА(а, т) + 2 да2В{а, т)
В таком случае Р оказывается функцией т и поэтому не коммутирует с
Ly
PLз Ф L3P . (6.5.66)
Выход из положения, однако, существует. Определив v(s) и w(s), как прежде, получим
5 v(s) = P(yL2 + L3)w(s) + PL3v(s) + v(0) (6.5.67)
I*(i) = b2?. + y( 1 - ^2 + (1 - J’U-JffCO + + (1 - ,
(6.5.68)
