Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 90

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 185 >> Следующая


Приводимые рассуждения весьма остроумны, но отнюдь не строги и не дают никаких указаний на конкретный метод аппроксимаций, кото-
Приближенные методы для диффузионных процессов 249

рый, по всей видимости, должен состоять в асимптотическом разложении по малому безразмерному параметру. Сверх того, судя по всему, нет способа осуществить подобное разложение непосредственно для стохастического дифференциального уравнения — насколько известно автору, никому пока что не удалось предложить такой метод.

Уравнением Фоккера — Планка, эквивалентным (6.4.1, 2) для функции распределения, является

— _ Ai \ I 1 Ж I ,un>

dt dx{vp) ‘ 8v\t ) + r2/W (6.4.12)

Определим функцию распределения для координаты р(х, t) как р(х, t) = J dv р(х, v, t). (6.4.13)

Тогда можно предположить, что УФП для р(х, /), соответствующее «приведенному» уравнению Ланжевена (6.4.10), имеет вид

др _ кТдгр

dt~~ (Jdx1' (6.4.14)

Будем искать способ получения (6.4.14) из (6.4.12) с помощью теории возмущений, так, чтобы поправки высших порядков представлялись в виде степеней какого-либо малого параметра.

В более общем виде можно рассматривать броуновское движение в потенциальном поле, которое описывается уравнениями Ланжевена (см. разд. 5.3.6):

dx

mjt = - Pv- V'(x) + у/ЩТФ) ¦

В пределе для больших (3 второе уравнение очень быстро релаксирует к квазистационарному состоянию, в котором dv/dt 0. Соответственно мы принимаем, что для достаточно больших (3

v = ~ /Г [F'(x) ~ у/20ктф)\ , (6.4.16)

и, подставляя это в (6.4.15), получаем

~Г‘Г(х) at) , (6.4.17)

чему соответствует УФП для р(х), известное под названием уравне-
250 Глава 6

ния Смолуховского:

др

dt

JL

дх

V'(x)р + кТ

др'

дх

(6.4.18)

В данном случае мы избавились от быстрой переменной v, предположив, что она очень быстро релаксирует к значению, определяемому выражением (6.4.16).

Этот прием является прообразом всех методов адиабатического исключения, легших в основу сформулированного Хакеном принципа подчинения [6.1]. Главное физическое допущение состоит здесь в следующем: при больших /3 (или малых временах релаксации) переменные, подчиняющиеся уравнениям, в которые входят большие (3 (например, v), релаксируют к значениям, получаемым в предположении, что медленная переменная (в данном случае х) является константой. Таким образом, быстрые переменные полностью подчиняются медленным переменным.

Как ни удивительно, задача о строгом выводе уравнения Смолуховского и получении поправок к нему была решена лишь недавно. Первая попытка была сделана Бринкманом [6.2], который лишь оценил поправки к (6.4.18) по порядку величины, но не привел все поправочные члены до низших порядков. Первое корректное решение принадлежит Стратоновичу (гл. 4, § 11.1 в [6.3]). Независимо от него корректные решения предложили также Вилемский [6.4] и Титулаэр [6.5].

В последующих разделах будет систематически изложена достаточ- • но общая теория вывода уравнения Смолуховского и поправок к нему; затем мы перейдем к более общим задачам адиабатического исключения. При этом мы воспользуемся переработанными проективными операционными методами, которые давно и успешно применяются в статистической физике, квантовой оптике и смежных областях. Эти методы можно изложить непосредственно на языке временных масштабов, однако для нас удобнее воспользоваться аппаратом преобразований Лапласа, который, кстати, первоначально применил Вилемский. В изложении мы будем следовать за Папаниколау [6.6], который дал строгое обоснование использования этого метода для ряда задач. Приводимые нами примеры будут, однако, довольно формальными.

6.4.1 АБСТРАКТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА НА ЯЗЫКЕ ОПЕРАТОРОВ И ПРОЕКЦИЙ

Рассмотрим перенормированное уравнение Фоккера — Планка

(6.4.12), полученное аналогично (5.3.97) в разд. 5.3.6, которое мы можем записать в виде
Приближенные методы для диффузионных процессов 251

(6.4.19)

где L, и L2 — дифференциальные операторы вида

(6.4.20)

(6.4.21)

Нам необходимо получить уравнение для функции распределения величины у

которое было бы справедливо в пределе для больших у.

Можно ожидать, что приближенное решение для (6.4.19) удастся получить, умножая р(у, t) на стационарное распределение для

Мы считаем, что при больших у распределение скоростей очень быстро переходит в тепловое; иначе говоря, мы можем в (6.4.19) пренебречь L2 по сравнению с yLx, так что решением является функция от у, умноженная на решение (6.4.23), которое приближается к стацио-ному решению за время порядка у~х, которое очень мало. Формализуем наши рассуждения, введя оператор проектирования Р как
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed