Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
При этих условиях вероятность того, что в момент t частица еще находится в интервале (а, Ь), есть
| dx'p(x', t\x,Q) = G(x, t). (5.2.140)
a
Обозначим через T момент времени, в который частица покидает интервал (а, Ь). Тогда (5.2.140) можно переписать в виде
РгоЬ(Г> t) = )dx'p(x', f|x,0), (5.2.141)
а
откуда следует, что G(x, t) есть то же самое, что и РгоЬ(Г ^ /). Поскольку система однородна по времени, мы можем записать
р(х', t |я:, 0) = р(х', 0|х, — t) (5.2.142)
и представить обратное уравнение Фоккера — Планка в виде
д,р(х', t\x,Q) = А(х)дхр(х', 11 х, 0) + ? B(x)dlp(x\ t \ х, 0). (5.2.143)
Таким образом, G(x, t) удовлетворяет уравнению
d,G(x, t) = A(x)dxG(x, t) + ? B(x)dlG(x, t). (5.2.144)
Граничными условиями, очевидно, служат
р(х', 0 j х, 0) = 8(х — х'),
откуда
G(x, 0) = 1, а ^ х ^ b
G(x, 0) = 0, х < а, х > Ь.~ (5.2.145)
Если же х = а или Ь, то частица немедленно поглощается, поэтому когда х = а или Ь, т. е.
РгоЬ(Г >0 = 0
G(a, г) = G(b, t) = 0. (5.2.146)
Поскольку G(x, t) есть вероятность того, что Т > г, среднее значение любой функции Т есть
</(П> = - J f(t)dG(x, t). (5.2.147)
Уравнение Фоккера — Планха 183
Таким образом, среднее время достижения границы интервала Т(х) = <Г> (5.2.148)
дается выражением
Цх) = - J t d,G(x, t)dt, (5.2.149)
о
= ]G(x,t)dt (5.2.150)
о
в результате интегрирования по частям.
Аналогично, определив
^(х) = <Г"> , (5.2.151)
находим
ад = ]t-'G(x, t)dt. (5.2.152)
о
Можно получить несложное обыкновенное дифференциальное уравнение для Т(х), используя (5.2.150) и интегрируя (5.2.144) на интервале (0, оо). Замечая, что
f д, G(x, t) = G(x, оо) - G(x, 0) = -1 , (5.2.153)
о
имеем
А(х)д,Т(х) + { В(х)дЩх) = -1 (5.2.154)
с граничным условием
Т(а)=Т(Ъ) = 0. (5.2.155)
Аналогично мы видим, что
- nT„_i(x) = А(х)дхТп(х) + | В(х)д2хТ„(х). (5.2.156)
Это означает, что повторным интегрированием можно рассчитать все моменты для времени выхода за пределы интервала.
Решения уравнений. Уравнение (5.2.154) может быть непосредственно проинтегрировано. Решение, после некоторых преобразований, представляется в виде
ц/(х) - ехр
[dx'V.A(x')IB(x')}
(5.2.157)
184 Глава 5
Находим:
F / *
Т(х) =
'? dy \ г dy' К dzy/(z) _ /J dy \ ? dy' К dzy/(z) iy(y)){y(y')l B(z) \l yjy)} I ц/{у')1 B(z)
b- dy
Ну)
(5.2.158)
б) Одна поглощающая граница
Будем рассматривать движение по-прежнему на интервале (а, Ь), считая теперь границу а отражающей. Тогда граничные условия принимают вид
dxG(a, 0 = 0 (5.2.159а)
G(b, 0 = 0, (5.2.1596)
как вытекает из условий для обратного уравнения Фоккера — Планка, полученных в разд. 5.2.4. Решая (5.2.154) с соответствующим граничным условием, получаем
6 dy >w(z) а отражаюшая
Т(х) = 2 f -y-r f -7^: dz b поглощающая ¦Viy)iB(z) Q<b'
(5.2.160)
Аналогично можно найти
* dv h i//M а поглощающая
Т(х) = 2 J —т J dz b отражающая
‘‘ПУ)уВ(г) а<Ь.
(5.2.161)
в) Практическое приложение: задача о переходе через потенциальный барьер
Пусть движение точки описывается уравнением Фоккера — Планка
д,р{х, О = dx[U'(x)p(x, О] + Одгхр{х, О ¦ (5.2.162)
Потенциал имеет максимумы и минимумы, как показано на фиг. 5.3. Предположим, что движение происходит на бесконечном интервале, так что стационарное решение имеет вид
ps(x) = JV exp [— U{x)jD]. (5.2.163)
Это распределение бимодально (рис. 5.3), так что относительно велика вероятность того, что частица находится справа или слева от Ь, но
Уравнение Фоккера — Планка 185
не вблизи Ь. Чему равно среднее время выхода из левой потенциальной ямы? Другими словами, каково среднее время перехода из а в точку х, когда х находится в окрестности Ы Воспользуемся решением (5.2.160), заменяя
b — х0
а______оо (5.2.164)
х — а, так что
Т(а -~x0) = jj f dy exp [U(y)/D] \ exp [- U(z)/'D]dz . (5.2.165)
Если центральный максимум функции U(x) велик, a D мало, то exp[U{y)/D] имеет острый пик в точке х = Ь, в то время как значение
