Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р(а, ф)
д(ЕиЕ2)
р(Е1,Ег) = ар(Е1,Е1).
д(а, ф)
Теперь, объединяя (5.3.5, 8, 12, 13), получим
др
dt
д_
да
/_1_ сРр_ (Рр_ 2 [а2 дф2 + да2
(5.3.13)
(5.3.14)
Это и есть уравнение Фоккера — Планка, соответствующее двум стохастическим дифференциальным уравнениям в разд. 4.4.5, полученным путем замены переменных по формуле Ито.
5.3.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В общих чертах мы уже коснулись граничных условий в разд. 5.2.1, где они рассматривались с точки зрения потока вероятности. Судя по всему, граничные условия для произвольного многомерного уравнения Фоккера — Планка еще не исследованы во всей их полноте. Поэтому в настоящей книге мы будем рассматривать по преимуществу отражающую граничную поверхность S, для которой
«¦/ = О 5, (5.3.15)
где п — нормаль к поверхности, а
/,(*, О = t)p(x, Вц(х, 0Р(х, О , (5.3.16)
а также поглощающую граничную поверхность, где
p(x,t)~ 0 при л: 6 S. (5.3.17)
На практике некоторые участки поверхности могут быть поглощающими, а другие — отражающими. Если Л, или Btj имеют разрыв на поверхности S, то мы потребуем, чтобы
п /, = п-1г на S (5.3.18)
Pi(x) = рг(х) при х е S.
Тангенциальная компонента тока может при этом не быть непрерывной.
Уравнение Фоккера — Планка 193
Граничные условия для обратного уравнения уже были получены в разд. 5.2.4. Приведем их здесь для полноты:
Поглощающая граница-. р(х, t\y, t') = 0 jeS (5.3.19)
Отражающая граница: ? п,В0(у) р(х, t\y, t') ~ 0 у е S . (5.3.20)
и oyj
5.3.3. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ: ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Большой класс систем описывается уравнениями Фоккера — Планка, допускающими стационарное распределение, при котором поток вероятности обращается в нуль для всех л: из Р. В этом случае, преобразуя определение потока J (5.3.16), мы получим полностью эквивалентное уравнение
ivi 2 г дх/
А(х) - — ? 5т: В‘ЛХ)
(5.3.21)
Если матрица В^{х) имеет обратную для всех л:, мы можем переписать (5.3.21) в виде
~ log [/>s(x)] = ? Brk’(x) \lAk{x) - ? Bk]{x)j (5.3.22)
= Z,[A, B, x]. (5.3.23)
Это уравнение не может удовлетворяться для произвольных В^{х) и Aj(x), поскольку его левая часть представляет собой градиент. Следовательно, Zj также должно быть градиентом, для чего необходимым и достаточным условием является равенство нулю его ротора, т. е.
dZ, dZ,
dxj ~ дх,' (5.3.24)
Если это условие выполнено, то стационарное решение можно получить простым интегрированием (5.3.22):
ps(x) — exp {J dx' ¦ Z[A, В, x']}. (5.3.25)
Условие (5.3.24) называется потенциальным условием, поскольку величины Z, определяются через производные от 1п[/>5(л:)], так что этот логарифм может рассматриваться как некоторый потенциал — ф(л:), т. е.
р,(х) = exp [-$*)]
(5.3.26)
194 Глава 5
И
ф{х) = — J dx'-Z[A, В, х'].
(5.3.27)
Пример: рэлеевский процесс в полярных координатах. Из (5.3.14) находим
5.3.4. ДЕТАЛЬНЫЙ БАЛАНС
а) Определение детального баланса
Ситуация, когда стационарное решение некоторого уравнения Фоккера — Планка соответствует исчезновению потока вероятности, является частным случаем физического явления детального баланса. Марковский процесс удовлетворяет детальному балансу, если, грубо гово-
(5.3.28)
Е‘
.2
В =
(5.3.29)
О
откуда
(5.3.30)
так что
0
(5.3.31)
и, очевидно,
dA° = dJL*
дф да
(5.3,32)
Тогда стационарное решение имеет вид
(а, 6)
р,{а, ф) = exp [ J Щ + da Za)]
(5.3.33)
(5.3.34)
(5.3.35)
Уравнение Фоккера — Планка 195
ря, в стационарном случае всякий возможный переход уравновешивается соответствующим обратным переходом. Поскольку понятие детального баланса пришло из физики, разберем его более подробно на физическом примере. Рассмотрим газ частиц с координатами г и скоростями V. Под переходом будем понимать, что частица, имеющая в момент t координату и скорость (г, и), приобретает к моменту t + т координату и скорость (г', v'). Плотность вероятности этого перехода есть совместная плотность вероятности р(г', и', I + т; г, и, t). Мы можем обозначить этот переход как
(r,v,t) — (r',v',t + z). (5.5.36)
Обратный переход не сводится просто к перемене местами штрихованных и нештрихованных величин: его следует записать в виде
(/¦', -г', О —(г, -v, t + r). (5.3.37)
