Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
A (a, t) < 0 (5.2.22)
так что частица, достигающая точки а, с определенностью уходит в область Л' < а. Поэтому такая граница и называется выходной.
2) Входная граница. В этом случае
А (а, 0>0- (5.2.23)
Теперь знак А (х, t) таков, что частица, достигающая точки а, должна вернуться в область х > а. Таким образом, частица, помещенная справа от а, никогда не может покинуть область. С другой стороны, частица, помещенная вначале в точку х — а, непременно войдет в область .v > а, отсюда и название этой границы.
3) Естественная граница. Предположим, наконец, что
A(a.t) = 0. (5.2.24)
Частица, достигшая точки а, должна здесь и остаться. Можно показать, однако, что частице никогда не удастся попасть в эту точку. На границе этого типа частицы не поглощаются, и через эту границу частицу нельзя ввести в область.
Феллер [5.4] показал, что, вообще говоря, границу всегда можно отнести к одному из четырех типов: регулярные, входные, выходные и естественные. В своей классификации он пользовался следующими критериями. Определим
f(x) = exp
-2 ] ds A (s)/B (s)
(5.2.25)
g(x) = 2/[B (.v)/(.v)]
(5.2.26)
Уравнение Фоккера — Планка 167
h\ (х) =/(х) J g (i) ds (5.2.27)
-Vo
X
/'2(x) = g(x) J f(s) ds, (5.2.28)
*0
где x0 фиксировано и принадлежит (a, b). Обозначим через
У(хих2) (5.2.29)
пространство всех функций интегрируемых на интервале (*,, х2). Тогда граница в точке а является
1. регулярной, если /(х)еУ(а,х0), и g(x) е У (а, хп)
2. выходной, если g (х) $ У {а, х0), и Л, (,v) е (я, х0)
3. входной, если g(x) е У (а, х0), и h2(x) е У (а, х0)
4. естественной во всех остальных случаях.
Из результатов разд. 5.2.2 можно видеть, что для выходной границы не существует нормализованного стационарного решения УФП, и что среднее время достижения границы (5.2.161) конечно. Аналогично, для входной границы стационарное решение может существовать, но среднее время достижения границы бесконечно велико. В случае регулярной границы среднее время достижения границы конечно, но стационарное решение с отражающей границей в точке а существует. Естественные границы проанализировать труднее, и за подробностями мы отошлем читателя к [5.5].
е) Границы на бесконечности
Все вышеперечисленные типы границ могут иметь место на бесконечности, если только нам удается одновременно обеспечить нормализацию вероятности, для чего (еслир(х) достаточно «удобная» функция) требуется, чтобы
/) = 0. (5.2.30)
Если дхр(х) удовлетворяет разумным требованиям (т. е. не начинает бесконечно быстро осциллировать, когда х — ос), то
1'™ д*Р(х, 0 = 0,
(5.2.31)
168 Глава 5
так что для того, чтобы поток на бесконечности не обращался в нуль, необходимо обычно, чтобы либо А(х, г), либо В(х, t) обращались в бесконечность. В таких случаях удобнее всего переходить к новой переменной, которая конечна при х — оо.
Когда границы расположены на х = ±оо и допускается существование ненулевых потоков вероятности, то сохранение вероятности возможно в двух случаях:
i) J(± со, t) = 0 (5.2.32)
ii) /(+ со, t) = /(—со, ?). (5.2.33)
Здесь мы имеем дело с предельными случаями отражающих и периодических граничных условий соответственно.
5.2.2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Вспомним (разд. 3.7.2), что для однородного процесса коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени. В этом случае уравнение, которому удовлетворяет стационарное распределение, имеет вид
- [А(х)р,(х)] - у ~ [В(х)рАх)} = 0 (5.2.34)
или, с использованием определения потока (разд. 5.2.1),
1Щ^ = о; (5.2.35)
ах
его решением, очевидно, является
j(x) = const. (5.2.36)
Допустим, процесс происходит на интервале (а, Ь). Тогда
Да) = J(x) = J(b) = J (5.2.37)
и если одна граница является отражающей, то и другая должна быть
отражающей, и J = 0.
Если границы не являются отражающими, то они должны быть в силу (5.2.37) периодическими. В этом случае мы пользуемся граничными условиями, определенными в (5.2.17, 18).
а) Нулевой поток. Потенциальное решение Полагая J = 0, перепишем (5.2.37) в виде
А(х)р,(х) = у ^x[B(x)ps(x)} = 0; (5.2.38)
Уравнение Фоккера — Планка 169
его решением является
А/~ *
