Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Обратный переход соответствует обратному течению времени, и поэтому требует перемены знаков скоростей: движение от г' к г' происходит в направлении, обратном движению от г к г'.
Плотность вероятности для обратного перехода является, таким образом, совместной плотностью вероятности
p{r, — v, t + т; г', — v', t). (5.3.38)
Принцип детального баланса требует, чтобы эти две плотности вероятности были равны между собой, когда система находится в стационарном состоянии. Следовательно, можно записать
ps(r', v’, т; г, v, 0) = p,(r, —v, т; г1, —v', 0). (5.3.39)
Принцип детального баланса может при определенных условиях быть выведен из законов физики; см. [5.7] и разд. 5.3.6.
Для марковского процесса равенство (5.3.39) можно переписать в более подробном виде:
p(r', v', т | r,v, 0)p?r, v) = p(r, — v, т | г', — v’, 0)ps(r’, — v'), (5.3.40)
где условные вероятности теперь относятся к соответствующему однородному марковскому процессу (если бы процесс был не марковским, они относились бы только к стационарной системе).
В общем виде понятие детального баланса формулируется для произвольных величин Xj, которые при обращении времени изменяются по закону
(5.3.41)
е< = ± 1 • (5.3.42)
196 Глава 5
Если величина сохраняет знак, она называется четной, если меняет его на противоположный,— нечетной. В вышеприведенном примере координата является четной величиной, а скорость — нечетной.
Итак, понятие детального баланса может быть определено равенством
р,(х, t + т; х', t) = рХех'. t 4- т; ex, t), (5.3.43)
где под ех мы понимаем (е,*), е^2> ¦ ¦ )•
Заметим, что при г = 0 (5.3.43) переходит в
5(х — x')ps(x') = 8(sx — ех')р,(ех). (5.3.44)
Две дельта-функции равны между собой, так как может изменяться
лишь знак аргумента, но не абсолютная величина. Таким образом, из
определения принципа детального баланса (5.3.43) следует, что
ps(x) = ps(sx). (5.3.45)
Переходя к условным вероятностям, получим
р(х, т | xf, 0)/7s(x/) = р(ех\ т | ex, 0)ps(x)
(5.3.46)
б) Общие следствия из детального баланса
Важным следствием из (5.3.45) является тот факт, что
<x>s = е<х>5 (5.3.47)
(и, следовательно, все нечетные переменные имеют нулевое среднее значение), а также для автокорреляционной функции
G(z) = <x(r)xT(0)>s
мы имеем
G{т) = e<x(0)xt(t)>se , откуда
G{т) = sGT(r)s.
(5.3.48)
Полагая г = 0 и учитывая, что для корреляционной матрицы а — а1, получаем
<те = е<т. (5.3.49)
Уравнение Фоккера — Планка 197
Для матричной спектральной плотности
S(co) — — J e~ieoTG(z)
из (5.3.48) следует, что S(co) = eST(co)e ¦
(5.3.50)
в) Обстоятельства, требующие расширения понятия детального
Может случиться, что уравнение, описывающее марковский процесс, имеет несколько стационарных решений. В таком случае вместо (5.3.43) может выполняться более слабая формулировка понятия детального баланса, а именно
где индексы 1 и 2 соответствуют двум различным стационарным решениям. Подобная ситуация может возникнуть, если какая-либо величина является нечетной по отношению к обращению времени, но ее абсолютное значение не изменяется со временем. Этим свойством, например, обладает полный момент количества движения в центрифуге. Так же ведет себя постоянное магнитное поле.
В таких случаях условия детального баланса по большей части записывают в виде
где А есть вектор, составленный из постоянных величин, который меняется на еА при обращении времени. Согласно одной точке зрения, такая ситуация не отвечает условию детального баланса, поскольку в данном стационарном решении переходы не находятся в детальном балансе между собой. Вероятно, свойство (5.3.52) было бы правильнее называть инвариантностью относительно обращения времени.
Далее под детальным балансом мы будем понимать ситуацию, описываемую равенством (5.3.45), поскольку из (5.3.52) не вытекает сколько-нибудь важных следствий.
5.3.5. СЛЕДСТВИЯ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА
Условие детального баланса для уравнения Фоккера — Планка было сформулировано ван Кампеном [5.7] и независимо Ульхорном [5.8] и Грэхемом и Хакеном [5.9]. Мы сформулируем эти условия в несколько
баланса
pl(x, t + г; х', г) = рЦех', t + т; ех, е)}
(5.3.51)
рЦх, t + г; x\t) = pl\ex\ f г; ел:, /),
(5.3.52)
198 Глава 5
более естественном и общем виде. Нам нужны необходимые и достаточные условия, накладываемые на коэффициенты сноса и диффузии и на вероятности скачков, при которых уравнение для однородного марковского процесса имеет стационарные решения, удовлетворяющие условию детального баланса. Покажем, что необходимые и достаточные условия даются выражениями
