Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
рХх) = ехр[2 J dx"A(x')IB(x')], (5.2.39)
где jV — константа, получаемая из условия нормировки J dx ps(x) = 1 . (5.2.40)
а
Подобное решение называется потенциальным — главным образом потому, что стационарное решение получается путем единственного интегрирования. Подробнее о. смысле этого названия мы поговорим в разд. 5.3.3.
б) Периодическое граничное условие
В этом случае поток J не равен нулю, и (5.2.36) можно записать в виде
А(х)р3(х) ~\^~х [В(х)рХх)] = J . (5.2.41)
Значение J не является произвольным, а определяется нормировкой и периодическим граничным условием
PM = Ps(b)
т = т.
Для удобства определим
х
у/(х) = ехр [2 J dx'A(x'):B(x')}.
а
Тогда (5.2.41) легко проинтегрировать и получить
ps(x)B(x)/y/(x) = ps(a)B(a)/y/(a) + J J dx'/y/(x') .
a
Наложив граничное условие (5.2.42), находим
J = [ВфШЬ) - B(a)jy/(a)\ps(a)j так что
J dx'jy/{x')
РЛх) = Ps(a)
л dx' B(b) . л dx' В(а) I V(x') y/(b) + j y/(x') y/{a) B(x) 5 dx' yj(x)l yj(x')
(5.2.42)
(5.2.43)
(5.2.44)
(5.2.45)
(5.2.46)
(5.2.47)
170 Глава 5
в) Бесконечности и сингулярности
Если граница находится в бесконечности или в особой точке, то обсужденные выше возможности могут не осуществиться, например из-за расходимости. Полное перечисление всех возможных случаев представляло бы очень сложную задачу. Поэтому мы проиллюстрируем их на ряде примеров в следующем разделе.
5.2.3. ПРИМЕРЫ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИИ
а) Диффузия в поле силы тяжести
Сильно демпфированное движение броуновской частицы в постоянном гравитационном поле обычно описывают СДУ (разд. 6.4)
dx = ~g dt -f VD dW(t), (5.2.48)
которому соответствует уравнение Фоккера — Планка
d/^i~(gP)+ (5.2.49)
dt дх 2 дх2
На отрезке (а, b) с отражающими границами стационарное решение дается выражением (5.2.39)
ps(x) = Ж ехр [—2gx/D] , (5.2.50)
где все константы учтены в значении ,уК
Очевидно, это решение нормализуемо на (а, Ь), только если а конечно, хотя b может быть и бесконечно большим. Вся премудрость этого результата сводится к тому, что, диффундируя внутри кувшина с жидкостью, частицы будут опускаться вниз, и если кувшин бесконечно глубок, то это падение не прекратится никогда! Диффузия вверх, против направления силы тяжести, также возможна на любое расстояние с экспоненциально убывающей вероятностью.
Наложим теперь на (а, Ь) периодические граничные условия. Подстановка в (5.2.47) дает постоянное распределение
Pi*'» /’.(</)• (5.2.51)
Это означает, что частицы будут свободно проходить от а к b и обратно.
6) Процесс Орнштейна — Уленбека
Воспользуемся обозначениями разд. 3.8.4, где уравнение Фоккера — Планка имело вид
Уравнение Фоккера — Планка 171
(5.2.52)
Его стационарное решение на интервале (а, Ь) с отражающими границами дается выражением
Если к > О, решение нормализуемо на (—оо, +оо). Если/: < 0, то оно имеет смысл только на конечном интервале.
и, рассматривая периодическое граничное условие на этом интервале и замечая, что
так что для симметричного случая мы получаем то же решение, что и для отражающих границ.
Устремляя а — оо, мы снова получим такое же решение. Этот результат справедлив и в том случае, если а — оо независимо от Ь — — оо при к > 0.
в) Модель химической реакции
Хотя обычно химические реакции наилучшим образом моделируются с помощью управляющего уравнения рождения — гибели (см. гл. 7), приближенные подходы нередко используют уравнение Фоккера — Планка. Представляет интерес реакция
поскольку ей соответствует выходная граница при х = О (где х есть число молекул вещества X). Очевидно, что когда вещества X нет, то Молекулам Л не с чем соединяться, так что вещество X не производится.
р?х) = exp (—kx2i‘D).
(5.2.53)
Пусть
а = —b < 0 .
(5.2.54)
Тогда для данного случая
(5.2.55)
ц/{а) = ц/{— а), находим
(5.2.56)
Р>(х) = р,(а)<//(х)1<//(а)
(5.2.57)
172 Глава 5
Соответствующее уравнение Фоккера — Планка выводится в разд. 7.6.1 и имеет вид
д,р(х, t) = —дх[(ах - х2)р(х, t)] 4 \ д2х[(ах 4 х2)р(х, /)]. (5.2.58)
