Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
В разд. 5.3 рассматриваются точные результаты для систем с несколькими переменными; как правило, в отличие от систем с одной переменной эти результаты не удается представить в явном виде. Кроме того, рассматривается понятие детального баланса, который для систем с одной переменной почти тривиален, но в случае систем с несколькими переменными приводит к интересным выводам.
В заключение рассматриваются точные результаты для задач со многими переменными, связанных с достижением границ.
5.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
С уравнением Фоккера — Планка мы уже встречались прежде; вначале в форме, полученной Эйнштейном для уравнения диффузии (разд. 1.2), затем как с частным случаем дифференциального уравнения
Уравнение Фоккера — Планка 161
Чепмена—Колмогорова (разд. 3.5.2) и, наконец, в связи с рассмотрением стохастических дифференциальных уравнений (разд. 4.3.4). Используя уравнения Фоккера — Планка, часто удается быстрее прийти к желаемым результатам, чем с помощью соответствующих стохастических дифференциальных уравнений, но бывает и наоборот. Для того чтобы получить полное представление о природе диффузионных процессов, необходимо изучить оба подхода.
Возникновение названия уравнения Фоккера — Планка связано с работами Фоккера (1914) [5.1] и Планка (1917) [5.2]: Фоккер исследовал броуновское движение в поле излучения, а Планк на этой основе попытался построить полную теорию флуктуаций. Математики чаще называют это уравнение уравнением Колмогорова, который дал ему строгое теоретическое обоснование [5.3]. Иногда используется также термин «уравнение Смолуховского». Не вдаваясь в проблему приоритетов, мы будем называть его уравнением Фоккера — Планка-, поскольку такое название наиболее распространено в тех кругах специалистов, которым адресована эта книга.
5.2. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В одномерном случае уравнение Фоккера — Планка (УФП) принимает простой вид:
д~~ = ОД*, I)] + у ?г[В(х, t)f(x, 0] • (5.2.1)
Как показано в разд. 3.4.5, УФП справедливо для условной плотности вероятности, т. е. выбора
/(*, t) = р(х, t \ х0, /0) (5.2.2)
при любом начальном значении х0, !0 и при начальном условии
р(х, to | *0, to) = 8(х - х0) . (5.2.3)
Однако, используя'определение единовременной плотности вероятно-
сти
р(х, О = J dx0 р(х, t; х0, t0) = J dx0 р(х, t \х0, t0)p(x0, t0), (5.2.4)
можно показать, что УФП справедливо также для р(х, t) с началь-
ным условием
р(х, 01»=»о = р(х, to) , (5.2.5)
которое обычно менее сингулярно, нежели (5.2.3).
162 Глава 5
Из разд. 4.3.4 следует, что стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющей УФП, эквивалентен СДУ Ито
dx(t) — A[x(t), t]dt ~ ^rB[x(t), t]dW(t)
и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга. Далее мы увидим, что теория возмущений, построенная на основе УФП, отличается от теории на основе СДУ, и что та и другая теории имеют свою сферу применения.
5.2.1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Уравнение Фоккера — Планка является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, и для его решения необходимо начальное условие типа (5.2.5) и граничные условия на концах интервала изменения х. Граничные условия могут иметь различный вид.
Удобнее не ограничиваться случаем одной переменной, а сразу вывести граничные условия в общем виде. Рассмотрим прямое уравнение
3 1 Д2
d'piz, /) = - ЕдрЛД*. t)p(z, t) + у ? вч (г> t)piz, t). (5.2.6)
Заметим, что его можно переписать в виде
3-P-ftLl+^~J,(z,t)=0, (5.2.7)
где мы ввели поток вероятности
1 3
J' (z, I) = А, (г. t) piz, t)- BiJ (г’ ^piz’ ^ ¦ (5-2-8)
Уравнение (5.2.7) имеет вид локального уравнения сохранения и мо-
жет быть преобразовано к интегральной форме. Рассмотрим некоторую область R с границей S и определим
P(R, t) = | dzp(z, t).
R
Тогда (5.2.7) эквивалентно
D= _ *./(*, 0,
(5.2.9)
V7равнение Фоккера — Планка 163
где п — внешняя нормаль к S. Выражение (5.2.9) показывает, что уменьшение вероятности дается интегралом от J по поверхности, ограничивающей область R. Можно, впрочем, доказать, что поток J обладает и более общим свойством, а именно что его интеграл по любой поверхности 5 дает полный поток вероятности через эту поверхность.
Действительно, рассмотрим две смежные области Rl и R2, разделенные поверхностью 512. Пусть 5, и S2 — поверхности, которые
вместе с Sl2 ограничивают соответственно области R} и R2 (см. рис.
5.1).
Тогда полный поток вероятности можно вычислить с учетом того, что мы здесь имеем дело с процессом с непрерывными реализациями, так что за достаточно короткое время At вероятность перехода из R2 в R, через поверхность 512 есть совместная вероятность нахождения в R2 в момент t и вй[ в момент t + At, равная
