Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
nx{t)"~ldx(t) + - П—-^ x(t)n-2[f{t) -f g(t)x(t)]2dt
dt
(x(t )"> = <X(0">
nb{t) ---W)2
+ <.v(0"“2>
(4.4.70)
(4.4.71)
Эти уравнения образуют иерархическую последовательность, в которой в каждое уравнение входят решения двух предыдущих и которую можно последовательно проинтегрировать.
4.4.8. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
а) Однородный случай
Уравнение имеет вид
dx(t) = [B(t)dt Ь 2 Gj(t)dWAt)]x{t),
(4.4.72)
где 5(0. Gj(t) — матрицы. Вообще говоря, это уравнение не имеет решения в конечном виде, если только все матрицы 5(0, Gj(t') не коммутируют друг с другом во все моменты времени:
GlOGjit') = Gj(t')Gi(t)
В(0С,0') = G,(t')B(t) (4.4.73)
B(t)B(t’)= B(t')B(t).
В этом случае решение полностью аналогично решению для случая одной переменной X(t) = 0{t)x{ 0) где
f(t) = exp J [5(0 - i S G^tm + J 2 Gl(t)dWi(t)\.
(4.4.74)
158 Глава 4
б) Неоднородный случай
Неоднородное уравнение можно свести к однородному точно таким же способом, как это было сделано для одной переменной. Рассмотрим
dx(t) = [A{t) + B(t)x]dt + ? [F,(0 + Gt(t)x]dW(t) (4.4.75)
i
и запишем
y(t) = if/(tr‘x(t), (4.4.76)
где \p(t) — матричное решение однородного уравнения (4.4.72). Вначале нам необходимо найти d[\p~[]- Для всякой невырожденной матрицы М имеем ММ~1 = 1, и разложение с точностью до членов второго порядка дает Md[M~'] + dM М~] + dMd[M~y] = 0. Отсюда dlM^'1] = ~[М + dMY^dM Л/-1, и, разлагая снова до членов второго порядка, получим
d[M~l] = -M~'dM M~l + M~'dM M~4M M~l. (4.4.77)
Таким образом, поскольку ф{1) удовлетворяет однородному уравнению, можно записать
dMtr'] = {[-Bit) + ? С,(/)2]Л - ? GMd^it)} .
I ['
Возьмем дифференциал
dyit) = ?цу' {[АЦ) - ? G,(/)Ff(/)]d/ + ? F?t)dWit)}.
I l ,
Отсюда
x(0 = KOW0) + jV«r‘{M(n - ? + ? FiOdwit’)}}.
0 1
(4.4.78)
Практической пользы от этого решения не так много, поскольку вычисление средних значений и корреляционных функций сопряжено с большими трудностями, даже если известно решение однородного уравнения.
4.4.9. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ВРЕМЕНИ
Это уравнение представляет собой разрешимый частный случай рассмотренного ранее общего линейного уравнения. Оно является обобщением процесса Орнштейна — Уленбека для нескольких переменных (разд. 4.4.6), учитывающим зависимость параметров от времени:
dx{t) = —Ait)xit)dt + B{t)dW{t).
(4.4.79)
Расчеты методом Ито и СДУ 159
Очевидно, что это уравнение имеет такой же вид, что и (4.4.75), с учетом замены
А( 0 - О
В(0 —- —A(t)
? Flt)dWit) - B(t)dW(t) (4.4.80)
I
G((/)-0.
Соответствующее однородное уравнение представляет собой просто детерминистическое уравнение
dx(t) = — A(t)x(t) dt. (4.4.81)
При условии, что A (t)A(t') = A(t' И (О* это уравнение разрешимо: его решение имеет вид
*(/) = <КО*(0),
где
i//(t) = ехр[—J A{t')dt']. (4.4.82)
0
Тогда с учетом (4.4.78)
х(г) = exp [— J ,4(/')d/']x(0) + J {exp [— J y4(j)dj]} B{t')dW(t') . (4.4.83)
0 Of'
Это решение очень похоже на решение не зависящего от времени уравнения процесса Орнштейна — Уленбека, полученное в разд. 4.4.6. Отсюда имеем
<*(/)> = exp [- J A(t')dt'}(x(0)) (4.4.84)
0
<х(0, хт(0> = ехр[- J A(t')dt'](x(0), х(0)т> exp [—J AT(t')dt']
о о
+ J Л'ехр[— J /l(.j)A]5(/')5T(/')cxp[— J Лт(.?)<*]. (4.4.85)
О г' (
Зависящий от времени процесс Орнштейна — Уленбека весьма естественным образом возникает при разработке асимптотических методов описания малошумящих систем.
5
Уравнение Фоккера — Планка
В этой довольно длинной главе теория непрерывных марковских процессов развивается с точки зрения соответствующего уравнения Фоккера— Планка, которое определяет временной ход плотности вероятности для данной системы. Глава распадается на две основные части, посвященные соответственно процессам, описываемым одной и несколькими переменными. Отдельное рассмотрение систем с одной переменной оправдывается тем фактом, что для них имеется большое количество точных результатов. Поэтому в разд. 5.2 мы будем рассматривать всевозможные аспекты систем с одной переменной; разд. 5.3 посвящен системам со многими переменными. В обоих случаях задача об установлении соответствующих граничных условий имеет решающее значение, и она рассматривается в общем виде в разд. 5.2.1. Соответствующее рассмотрение граничных условий для обратного уравнения Фоккера—Планка проводится в разд. 5.2.4. Кроме того, в разд. 5.2 представлены точные результаты, полученные для стационарных плотностей вероятности, свойства собственных функций и задачи, связанные с достижением границ, — в большинстве случаев для одной переменной удается получить решение в явном виде.
