Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
! dx PAx)Q.-{ v) = О:,, (5.2.79)
а
или же существуют две альтернативные ортогональные системы
ь
\dx ps(x)Qx(x)Ql,{x) = 8;я, (5.2.80)
а
Ь
\<1х[р.(х)Г'Рх{х)Рх,{х) = 8;я,. (5.2.81)
176 Глава 5
Заметим, что подстановка X = X' =0 дает нормировку стационарного решения ps(x), поскольку
Р0(х) = р,(х) (5.2.82)
?0(*) = 1 ¦ (5.2.83)
Пользуясь этой ортогональностью, мы можем записать любое решение в собственных функциях. Так, если
Р(х, 0 = 2 ЛяРл(х^~*‘, (5.2.84)
А
ТО
/ dx Qxi.x)p(x, 0) = Ах . (5.2.85)
а
Например, условная вероятность р(х, Ох0, 0) дается начальным условием
р(х, 01 х0, 0) = 5(х - х0), (5.2.86)
так что
Ах = J dx 0Л(х)5(х - Xq) = вл(*о), (5.2.87)
а
откуда
р(х, t \ х0, 0) = 2 РЛ(х)?>я(х0)e~ir . (5.2.88)
я
Автокорреляционную функцию можно записать в изящном виде
(x(t )х(0)> = J dx J dx0 хх0р(х, t |х0, 0)ps(x) (5.2.89)
= 2 [J dx хРк(х)\2с-ь , (5.2.90)
где мы воспользовались определением Qx(x) (5.2.74).
б) Собственные функции для поглощающих границ
Этот случай очень сходен с предыдущим. Мы определяем Рх и Qh так же, как это сделано выше, причем ps(x) по-прежнему является стационарным решением уравнения Фоккера — Планка с отражающими граничными условиями. При таком определении нам необходимо, чтобы
Рц(а) = Qx{a) = РЛЬ) = Qx(b) = 0, (5.2.91)
Уравнение Фоккера — Планка 177
и доказательство ортогональности по-прежнему сохраняет силу. Далее, с использованием этого условия и уравнений (5.2.75, 76) вычисляются собственные функции; мы приходим к аналогичным результатам. Область значений А, однако, не включает X = 0, поэтому р(х ,/1х0, 0) — 0, когда / — оо.
5.2.6. ПРИМЕРЫ
а) Винеровский процесс с поглощающими границами Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка
д,Р = i dip (5.2.92)
на интервале (О, 1). Условие поглощения на границах требует, чтобы
p(Q,t) = р(1,0 = 0, (5.2.93)
а значит, собственными функциями являются sin(/Jirx); выполняем разложение в ряд Фурье по синусам
р(х, О = S b„{t) sin(wur) (5.2.94)
и убеждаемся, что это разложение удовлетворяет (5.2.93). Начальное условие выбирается так, чтобы
р{х, 0) = 5(х - х0), (5.2.95)
и тогда коэффициенты Фурье суть
1
Ь„(0) = 2 f с/х 8(х — х0) sin (пкх) = 2 sin (ппх0) . (5.2.96)
О
Подставляя разложение (5.2.94) в (5.2.92), получаем
b„(t) = -ЛА(0 , (5.2.97
где
К = я2712/2 ; (5.2.98)
решение уравнения имеет вид
b„(t) = 6„(0)ехр(- ;.„?). (5.2.99)
Итак, мы получили решение (которое в силу начального условия (5.2.95) определяет условную вероятность р(х, 11х0, 0)
Р(х, t |л:0, 0) = 2 ? ехр(— X„t) sin (ппх0) sin (пкх) . (5.2.100)
178 Глава 5
б) Винеровский процесс с отражающими границами В этом случае граничное условие на интервале (0, 1) сводится к
dxp(0,t)^dxp(l,t) = 0, (5.2.101)
и собственными функциями теперь являются cos(птх). Разлагая в ряд Фурье по косинусам
р(х, 0 = а0 + ? an(t) cos (пкх) (5.2.102)
L л®1
с прежним начальным условием
р(х, 0) = 5(* — х0)) (5.2.103)
получаем
1
я„(0) = 2 J dx cos (ппх)Ъ(х — х0) = 2cos (ппх0). (5.2.104)
о
Аналогично предыдущему случаю находим
А„(0 = а„(0)ехр(-Я„0, (5.2.105)
где
А„ = п2л2/2 (5.2.106)
так что
р(х, (\х0,0)= 1 + 2 ? cos (плхо) cos (лях) exp (—Я„г). (5.2.107)
л-1
При t — оо процесс становится стационарным, со стационарным распределением
ря(х) = lim р(х, 11 х0,0) = 1 . (5.2.108)
(—оо
Можно рассчитать стационарную автокорреляционную функцию:
<x(/)*(0)>s = jjdx dx о хх0р(х, t]x0,0)ps(x). (5.2.109)
о о
Непосредственное интегрирование дает
<*(0*(0)>5 = 4- + 4 ? ехр(— Я2в+1Г) (2п + I)-4. (5.2.110)
