Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
= J dx J dy p(x, t + At;y, t).
*1 *2
Полный поток вероятности из R2 в Rr получим, вычитая отсюда вероятность перехода в противоположном направлении и деля на At:
lim ; J dx J dy [p(x, t + At; y, t) — p(y, t + At; x, t)\. (5.2.10)
Д/-0 ill pl p2
Заметим, что J dx J dy p(x, t;y, t) = 0,
Ri R2
поскольку это есть вероятность одновременного нахождения в R{ и R2. Тогда можно записать
(5.2.10) = J dx J dy [д„р{х, t’;y, t) — д,,р(у, t’;x,
R! R2
= (*, t; R2, t) + J (5.2.11)
ri i oxr2 i ay,
Рис. 5.1. Области, использованные для де монстрации того, что ток вероятности являет ся потоком вероятности.
164 Глава 5
(здесь мы воспользовались уравнением Фоккера — Планка в. виде
(5.2.7), где Jj(x, t; R2, t) получено из
р(х, t; R2, t)= f dy р(х, t; у, t)
R1
таким же путем, как J(z, t) из p(z, t) в (5.2.8); Jt(y, t; Rv t) определяется аналогичным образом. Перейдем теперь к интегралам по поверхности. Интеграл по S2 обращается в нуль, поскольку в него входит р{х, ?; R2, I), в то время как х не находится ни в области R2, ни на ее границе (исключая случай множества нулевой размерности). Аналогично интеграл по Sl обращается в нуль, и остаются лишь интегралы по поверхности Sl2, поскольку здесь интегрирование проводится по участку границы и R2.
Таким образом, полный поток вероятности из R2b Rx есть
[ dS п• {J{x, t; Ru i) + J(x, t\ Rz, ?)}^
^12
и, поскольку x принадлежит объединению множеств и R2, полный поток вероятности за единицу времени из R2 в R{ равен
= lim J- / dx f dy [p(x, l + At; y, t) — p(y, t + At;x, t)] = J dS n-J{x, t)
Д(-0 Л, R2 Sil
где единичная нормаль n направлена из R2 в Rv (5.2.12)
Рассмотрим теперь различные типы граничных условий.
а) Отражающая граница
Мы рассматриваем ситуацию, в которой частица не может покинуть область R, и, таким образом, поток вероятности через границу S области R равен нулю. Это эквивалентно условию
n-J(z, t) = 0 при г е S, п - нормаль к S (5.2.13)
где J (z, с) дается выражением (5.2.8), а п — нормаль к S.
Поскольку частица не может пересечь поверхность 5, она должна отражаться от нее, почему эта граница и называется отражающей,
б) Поглощающая граница
В этом случае мы предполагаем, что, как только частица попадает на поверхность S, она удаляется из системы, т. е. граница поглощает частицу. Соответственно вероятность нахождения на границе равна ну-
Уравнение Фоккера — Планка 165
ЛЮ, Т. е.
п ¦ J(z, t) = 0 при z е S. (5.2.14)
в) Граничные условия на разрыве
Может случиться, что коэффициенты At и имеют разрыв на поверхности S, но через граничную поверхность S тем не менее происхо-
дит свободное движение частиц. Следовательно, как вероятность, так и нормальная компонента тока должны быть непрерывны на S,
n-J(z)\s+ = n.J(z)\s_ (5.2.15)
P(z)Is+ = p(z)|, (5-2.16)
где индексы S+, S_ обозначают пределы величин слева и справа от поверхности.
Согласно определению тока вероятности (5.2.8), производныер (г) не обязательно непрерывны на S.
г) Периодические граничные условия
Предположим, что процесс происходит на интервале [а, Ь]у концы которого совпадают между собой (например, диффузия происходит на окружности). Тогда мы накладываем граничные условия, полученные из граничных условий для разрыва, т. е.
I: lim р(х, t) = limр(х, t) (5.2.17)
х-*Ь— х-*а +
II: lim J(x, t) = lim J(x, t). (5.2.18)
.x—b- x-*a +
Чаще всего периодические граничные условия накладываются в том случае, когда функции А (х, t ) и В(х, t) — периодические на одном и том же отрезке, так что
А(Ь, t)А(а, I) (5.2.19)
В(Ь, t) = В(а. г).
Это означает, что условия I и II попросту сводятся к требованию равенства значений р(х, t) и ее производных в точках а и Ь.
д) Предписанные границы
Если коэффициент диффузии на границе обращается в нуль, то мы имеем дело с ситуацией, когда вид границы может быть указан автоматически. Пусть движение происходит только в области* > а. Если
166 Глава 5
условие Липшица выполняется для А (х, /) и \!В(х, /) при .г = а, (разд. 4.3.1), и В(х, /) дифференцируема вх = а, то
c_xB(a,t) = 0. (5.2.20)
Тогда СДУ имеет решения, и мы можем записать
dx(t) =Л(л\ !) dt + fBixH) dW(t) (5.2.21)
В этом (довольно специальном) случае существенным оказывается знак А (х, О, и мы, соответственно, рассматриваем три случая.
1) Выходная граница. Эта граница соответствует случаю
