Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Установим отражающие границы в точках х = аил: = /3. В этом слу-
чае стационарное решение имеет вид
рХх) = е-2*(д -(- х)4-1*"1 (5.2.59)
и не нормализуемо, если а = 0. Наличие полюса в точке х = 0 является следствием поглощения в этой точке. Сравнивая с (5.2.28), мы видим, что
В(0, 0 = (ах 4- хг)х^0 = 0
Л(0, г) = (ах — х2)х^0 = 0 (5.2.60)
дхВ(0, 0 = (а 4 2х)х=о > 0,
так что мы действительно имеем дело с выходной границей. Стационарное решение имеет смысл только для а > 0, так как в противном случае оно не нормируется. Физический смысл отражающей границы вполне прост: как только молекула вещества X исчезает, в систему немедленно добавляется другая такая же. График ps(x) приводится на рис. 5.2. На практике время, которое должно пройти, пока все молекулы X исчезнут, оказывается чрезвычайно большим, так что стационарное решение (5.2.59) дает хорошее приближение истинного распределения, за исключением области вблизи х — 0.
х
Рис. 5.2. Ненормализуемое стационарное решение ps(x) для реакции X + А - IX.
Уравнение Фоккера — Планка 173
5.2.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ОБРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Пусть р(х, t\x', t') удовлетворяет прямому уравнению Фоккера — Планка для данных х, t их', t' и процесс ограничен областью R с границей S. Тогда, если 5 — время между tut', имеем
(где мы воспользовались уравнением Чепмена — Колмогорова). Возьмем под интегралом производную d/ds и используем прямое уравнение Фоккера — Планка во втором сомножителе и обратное уравнение в первом сомножителе. Для краткости обозначим
Рассмотрим по отдельности некоторые возможные случаи.
о) Поглощающие границы
Требуется, чтобы на границе р = 0. Легко видеть, что требование Р(У, t) = 0 на границе согласуется с (5.2.65): подставляя р = 0 в это Уравнение, получаем
(5.2.61)
p(y,s) = p(y,s\x',t') р(у, s) = р(х, rlj;, s) . Тогда
(5.2.62)
(5.2.63)
и после некоторых преобразований
(5.2.64)
(5.2.65)
174 Глава 5
Однако если граница поглощающая, то, очевидно,
/?(дг, г | j', л) = 0, при у е границе,
(5.2.67)
а это равнозначно утверждению, что вероятность входа X в систему со стороны границы равна нулю.
б) Отражающие границы
В этом случае условие, накладываемое на прямое уравнение, приводит к обращению в (5.2.65) первого интеграла в нуль. Последний сомножитель обращается в нуль для произвольного р, только если
если В не равно нулю.
в) Гоаницы других типов
Эти границы мы не будем рассматривать здесь. Подробности можно найти в [5.4].
5.2.5. МЕТОДЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ)
Покажем, как в случае однородных процессов решения наиболее естественным образом выражаются с помощью собственных функций. Будем рассматривать отражающие и поглощающие границы.
а) Собственные функции для отражающих границ
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка для процесса на интервале (а, Ь) с отражающими границами. Пусть УФП имеет решение ps(x) и имеет вид
1] ^В^у) ~ [р(х, t\y, s)] == 0 .
ij oyj
(5.2.68)
В одномерном случае этому соответствует
(5.2.69)
3,р(х, t) =--- -дх[Л{х)р{х, 0] + \ Ы [В(х)р{х, /)].
(5.2.70)
Определим функцию q(x, t)
Р(х, f) = ps(x)q(x, Г)
(5.2.71)
Уравнение Фоккера — Планка 175
и с помощью прямой подстановки убедимся, что q(pc, t) удовлетворяет обратному уравнению
3,q(x, t) = A(x)dxq(x, О + 2 B{x)d2xq(x, t) . (5.2.72)
Будем рассматривать решения вида
р(х, t) = Рх(х)е-А’ (5.2.73)
q(x, t) = Qx(x)e~l‘, (5.2.74)
которые удовлетворяют уравнениям для собственных функций: -дх[А(х)Рх(х)} + i д1[В(х)Рх(х)} = ->.Рх{х) (5.2.75)
А(х)8хОх,(х) + | B(x)3lQx,(x) = -'-'QAx) • (5-2.76)
Тогда можно показать путем непосредственного интегрирования, что
(/.' - л) I dxPx(x)Q,.,(x) = ШЛх){~А(х)Рх{х) + 1 дх[В{х)Рх{х)}}
а
- |адЛХ*)Э^я,(*)]‘. (5.2.77)
Применяя отражающее граничное условие к коэффициенту QK(x), мы видим, что он обращается в нуль. Далее, пользуясь определением функции <7(v, t) через стационарное решение (5.2.71), нетрудно показать, что
i B{x)dxQAx) = -А(х)Р„{х) + ? дх[В(х)РАх)\, (5.2.78)
так что этот член также обращается в нуль. Таким образом, коэффициенты QK(x) и Рк(х) образуют биортогональную систему
