Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определим стационарную корреляционную матрицу а как
а = (xs(t), *1(0) • (4.4.50)
Тогда для
Аа + аАТ = | A exp [—A(t — t’)]BBTexр [—AT(t — t')]dt'
+ | exp [—A(t — /')]SSTexP [—AT(r — t')]ATdt'
= / jp (exp [-A(t - t')]BBTexp [-A{t - t')])dt'
эту величину можно оценить алгебраически. Вычисляя этот интеграл, мы видим, что нижний предел исчезает в силу сделанного предположения о собственных значениях А и остается только верхний предел. Таким образом, для стационарной корреляционной матрицы мы получаем алгебраическое выражение
Аа + а А1 = ВВТ (4.4.51)
154 Глава 4
в) Стационарная дисперсия в двумерном случае
Заметим, что если А — матрица размерности 2 х 2, то она удовлетворяет характеристическому уравнению
Аг - (Tr А)А 4 (Det А) = 0, (4.4.52)
а в силу (4.4.49) и вытекающего из (4.4.52) факта, что ехр(—At) есть многочлен первой степени относительно А, мы можем записать
а = аВВт + /?(ЛЯЯТ 4 ВВТАт) + уАВВтАт .
Пользуясь (4.4.52), мы находим, что (4.4.51) удовлетворяется, если
а 4- (Тг А)Р - (Det А)у = О
2/?(Det А) 4 1=0
Р 4 (Тг А)у = 0,
откуда
(Det А)ВВТ 4 [А- (Тг А)\]ВВТ[А - (Тг Л)1]т
2 (Tr A) (Det А)
(4.4.53)
г) Временная корреляционная матрица в стационарном случае Из решения (4.4.49) мы видим, что при t > s
<jcs(0> xj(s)} = exp [—A(t — s)] | exp [—A(s — t')\BBrexp [—AT(s — t')]dt'
= exp [—A(t — j)]ct t > s (4.4.54a)
и аналогично
= о exp [—Ar(s — /)] t < s, (4.4.54b)
что дает нам как раз такую зависимость от 5 — t, какой следует ожидать от стационарного решения. Определив затем
GJt -s)= <*.(/), xj(s)) , (4.4.55)
мы видим (учитывая а = <гТ), что
Gs(t -s) = [G.(s - /)]т . (4.4.56)
д) Спектральная матрица в стационарном случае
Спектральная матрица оказывается довольно простой. Аналогично разд. 1.4.2 определим
Расчеты методом Ито и СДУ 155
5(м) = ^ J е ia>TGs(x)dx
(4.4.57)
= [(А 4- ico) 'а + a(Ar — ict>) '] .
2л
Отсюда (А + ico)S(co)(v4T — ico) = —— (аЛт + v4a), и, пользуясь
(4.4.51), получаем
е) Теорема регрессии
Результат (4.4.54а) известен также как теорема регрессии, поскольку он устанавливает, что временной ход Gs(r) для т > 0 подчиняется тому же закону, что и временной ход среднего значения (например, (4.4.44)). Это является следствием линейного марковского характера рассматриваемой задачи. Поскольку
Таким образом, для вычисления Gs(r) необходимо знать Gs(0) = а и Уравнение временного хода среднего значения. Полученный результат аналогичен выводам разд. 3.7.4.
4.4.7. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
о) Однородный случай
Рассмотрим сначала однородное уравнение
5(су) = ^ (А + iw) lBBT(AT — iu)) 1 .
(4.4.58)
jT[Gs(r)\dT=^(xs(T),xl(0)}dz
= ([—Ax?T)dT + BdW(г)], xj(0)>
(4.4.59a)
и поскольку т > 0, dfV(r) некоррелировано с *J(0) и
^[С,(т)]= -ЛС,(т).
(4.4.596)
dx ~ [b(t)dt + g(t)dW(t)]x
(4.4.60)
156 Глава 4
и, пользуясь обычными правилами Ито, запишем у — log л;, (4.4.61)
так что
dy = dx/x ~ \(dxflx2
= [b(t)dt + g(t)dW{t)\ — \g{tfdt. (4.4.62)
Интегрируя и делая подстановку, обратную (4.4.61), получаем равенство
x(t) = х(0) ехр
(4.4.63)
= А-(0^(0, (4.4.64)
которое служит определением ф{t).
Заметим, что (с учетом (4.4.8))
<[*(')]"> = <W0)]"> ^exp {и/[6(0 - + njg(t')dW(of}
= <[jc(0)J”) exp \n\ b(t')dt' + \n{rt — 1) Jg(t')2dt' 1 . (4.4.65)
I 0 0 J
б) Неоднородный случай Рассмотрим теперь
dx = [a(t) + b(t)x]dt + [f(t) + g(t)x]dW(t) (4.4,66)
и запишем
z(t) = x(t)ty(t)]~l y (4.4.67)
где 0(0 соответствует определению (4.4.64) и является решением однородного уравнения (4.4.60). Далее,
dz — dx[p{t)]~' + х </[$}(0-1] + dx dty{t)~x].
Учитывая, что с?[ф(/)]~' = — dф(t)[ф(t)]~2 + №ф(1)]2[ф(1)]~г, и пользуясь правилами Ито, получаем уравнение
dz = [[a(t) - fU)g(t)]dt + f(t)dW(t)} ф(1Г\ (4.4.68)
которое можно сразу проинтегрировать. Окончательное решение имеет вид
x{t) = ?i(oU(0) + /Vr'iWO -ЖЖП] dt'+f(t’)dW(t')} I. (4.4.69)
Расчеты методом Ито и СДУ 157
в) Моменты и автокорреляция
Уравнения для моментов удобнее получить из (4.4.66), нежели вычислять моменты и автокорреляцию непосредственно из решения (4.4.69). Из
следует
nx(ty-4x(t) x(t)"-2[clx(t)]2
