Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
0
= — J(a, t\x, 0)
= 3,*.(*,/)• (5.2.181)
Среднее время, через которое частица покинет интервал в точке а, равно
Т(а, х) = J /Э,РгоЬ (Т„ < /) dt = — ] ga(x, t)dt/ga(x, оо). (5.2.182)
0 0
Интегрируя (5*2.181) по времени, получим
А(х)дх[ла(х)Т(а, х)\ + \В{х)д2х[па(х)Т(а, х)} = —ла(х)
(5.2.183)
где по определению
жа(х) = вероятность выхода в точке а = ga(x, оо). (5.2.184)
Граничные условия для (5.2.183) сразу следуют из граничных условий для обратного уравнения Фоккера — Планка:
п„(а)Т(а, а) = па(Ь)Т(а, Ь) = 0 . (5.2.185)
В первом из них, очевидно, Т(а, а) = 0 (время, за которое частица из точки а попадет в точку а, равно нулю), а во втором жа(Ь) = 0 (вероятность выхода через точку а для частицы, находящейся в точке Ь, равна нулю).
Устремляя в (5.2.181) t — оо, мы видим, что при этом частица уже не находится на интервале (а, Ь). Следовательно, правая часть стре-
Уравнение Фоккера — Планка 189
мится к нулю, и мы получаем
А(х)дхпа(х) + \В(х)31па(х) = 0 ,
с граничными условиями
При этих граничных условиях, а также при условии па(х) -Г ль(х) = 1 решение (5.2.186) есть
яа(х) = [ | dy ц/(у)]1 j dy у/(у)
х а
х Ь
ль(х) = [ \ dy ц/{у)\: { dy ц/(у);
(5.2.186)
(5.2.187)
(5.2.188)
(5.2.189)
(5.2.190)
где \р(х) определена в (5.2.157).
Эти формулы находят применение в задаче о релаксации распределения, которое в начальный момент концентрируется около неустойчивой стационарной точки (разд. 9.1.4).
5.3. УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Уравнения Фоккера — Планка в случае многих переменных описывают гораздо более многообразные и сложные зависимости. В качестве границ выступают уже не просто конечные точки отрезка, а кривые и поверхности; кроме того, характер границы может изменяться от участка к участку. Стационарные решения даже для отражающих границ могут соответствовать ненулевым потокам вероятности, и методы собственных функций уже далеко не так просты.
Тем не менее между одномерным и многомерным случаями существуют полезные аналогии, вот почему в данном разделе сохранен порядок, которому мы следовали, рассматривая уравнения Фоккера — Планка для одной переменной.
190 Глава 5
5.3.1 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть у нас имеется уравнение Фоккера — Планка в переменных xt:
где/, — некоторые дифференцируемые независимые функции. Обозначим через р(у, О плотность вероятности для новой переменной, которая дается выражением
Простейший путь перехода к новым переменным состоит в использовании формулы Ито для соответствующего СДУ
с тем чтобы из полученного стохастического дифференциального уравнения вывести уравнение Фоккера — Планка в новых переменных (см. разд. 4.3.4).
Результат оказывается довольно сложным, В ряде случаев прямое использование формулы (5.3.3) оказывается более предпочтительнымi Громоздких вычислений удается избежать лишь при всестороннем использовании свойств симметрии и различных упрощающих предположениях.
Пример: Переход от декартовых координат к полярным. В качестве примера рассмотрим переход к полярным координатам для рэлеевско-го процесса, который ранее рассматривался с использованием СДУ в разд. 4.4.5. Уравнение Фоккера — Планка в прямоугольных координатах имеет вид
мы же хотим записать его в координатах а и ф, которые связаны с прежними координатами соотношениями
д,р(х, 0 = - Е д,[А1(х)р(х, f] + i 2 d,dj[B,j(x)p(x, 0] .
* i,J
(5.3.1)
Нам необходимо перейти к уравнению в переменных }’i = /<(*),
(5.3.2)
р(у, О =р(х, О
Э(хь х2...) d(}’i,y2 ••¦)
(5.3.3)
dx(t) = A(x)dt + VIF) dW{t),
(5.3.4)
(5.3.5)
Ег = a соаф Ег = a sirф .
(5.3.6)
Уравнение Фоккера — Планка 191
Якобиан равен
ВСЕ, , Ег)
И =
д(а, ф) = а.
cos ф —аътф sin ф a cos ф
(5.3.7)
Пользуясь представлением лапласиана в полярных координатах, запишем
r. + il±=l?. +
ЗЕ\ ^ дЕ\ а28ф2 ^ а да Г да) ’ а также преобразуем (5.3’6) к виду а = ^Е\ + Е\ ф — tan-1^/^) .
Заметим, что
Е,
да
дЕ, ~ + Е\ '
да дЕг
и
дф_ дЕг
COS ф
= sin ф
Е\ + Е\ ~ cos Иа
3Ф ¦ А,
й =-sin^
Отсюда
д „ \ д г>
дЕ, lP + дЕ2 гР
др 1 д
/_2_Л
(5.3.8)
(5.3.9)
(5.3.10)
(5.3.11)
192 Глава 5
Обозначим через р(а, ф) функцию плотности распределения в полярных координатах. С использованием якобиана (5.3.7) можно записать
