Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(1) Щх | x')ps(х') = Щех'\ ex)ps(x)
(2) е,Л/(«-ф5(*) = -Ai(x)p.ix) + I] ~ [Вч(х)р,(х)\
J QXj
(3) EiEjBijiex) = Btj(x).
(5.3.53)
Для того чтобы конкретизировать эти условия для случая уравнений Фоккера — Планка, необходимо просто приравнять нулю вероятности скачков W(x\х').
Необходимые условия. Проще сформулировать условия для дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, чем ограничиваться уравнением Фоккера — Планка. В соответствии с определениями величин W{x\x'), Aj(x) и Ву(х), данными в разд. 3.4 (поскольку мы имеем дело с однородным процессом, все эти величины, разумеется, не зависят от времени), тривиальный результат получается из (5.3.46) и заключается в том, что для детального баланса необходимо выполнение равенства
Щх | х')Л(х') = Щех' | вх)ра(х) . (5.3.54)
Рассмотрим теперь коэффициент сноса. Для простоты запишем
*' = * + 5 (5.3.55)
Тогда из (5.3.46) следует
j dS S,p(ex + eS, At\ex, 0)ps(x)
I jl <K
= J dS 8tp(x, Д? j x -j- 5. 0)ps(x + 6) (5.3.56)
ISKK
(в пределах интегрирования мы пишем К вместо ?, чтобы не путать с ?,). Разделим это выражение на At и перейдем к пределу At — 0; левая часть дает нам
<:,-/1,-(ех)/7я(х) -г О(К)
(5.3.57)
Уравнение Фоккера — Планка 199
Преобразуем правую часть:
р(х + 8 — 8, At | х + 8, 0)ps(x + 8) = р(х — 8, At \ х, 0)/?s(x) (5.3.58)
и, переходя к пределу, получаем
+ 0(К) = -ААх)р,(х) + ? ^ [Ви(х)рХх)] + О(К). (5.3.59)
Здесь мы воспользовались тем, что, как показано в разд. 3.4, члены, в которые 5 входит в степени выше второй, имеют порядок К. Устремляя К — 0, находим
Условие для Вц(х) получается аналогичным образом, однако здесь уже нет члена, подобного второму слагаемому в правой части (5.3.60), так как главным членом является 0(62). Находим
Третьим условием, разумеется, является требование, чтобы ръ{х) была стационарным решением дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова. Это условие не тривиально, и, вообще говоря, не зависит от остальных.
Достаточные условия. Покажем теперь, что условия (5.3.53) являются достаточными. Пусть эти условия удовлетворены, ps(х) — стационарное решение дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, а р(х, t\х', 0) — решение этого уравнения. Рассмотрим величину
Подставим р в дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова и покажем, что, коль скорор(х’, t\x, 0) подчиняется обратному уравнению Чепмена — Колмогорова относительно переменной х, величина р является решением прямого дифференциального уравнения Чемпена
— Колмогорова.
(5.3.60)
?fijBtj(Zx) = Bij(x) .
(5.3.61)
р(х, 11 х\ 0) = р(ех', 11 ex, 0)/?s(x)//?s(x'). Очевидно,
p(x, 01 x’, 0) = 5(x — x') = p(x, 01 x', 0).
(5.3.62)
(5.3.63)
200 Г лава 5
Проделаем вычисления в явном виде. Для краткости будем писать
р вместо р(х, t \х', 0) р5 вместо ps(x)
p's вместоps(x’) (5.3.64)
р(х) вместо р(х', fix, 0).
Рассмотрим по очереди один член за другим.
1) Вклад сноса:
3) Вклад скачка:
\dz[W{x\z)p{z, t\x', 0) - W(z\x)p{x, t\x', 0]
= f dz[W{x | z)ps(z)p(ex', 11 sz, 0) - W{z | x)ps(x)p(ex', t \ ex)\/p5. (5.3.67)
Пользуясь тем, чтор/х) является решением стационарного дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, запишем теперь
= -Tl-^{Alp{ex)psjps')
(5.3.65)
2) Вклад диффузии:
(5.3.66)
= - J dz W{x\z)pAz), а с учетом условия детального баланса (5.3.53(1)) —
(5.3.68)
(5.3.69)
Сделаем теперь замену
Уравнение Фоккера — Планка 201
и сложим все три вклада, учитывая (5.3.68, 69)
ду,
—Ц EiA,(ey)ps(y)
i
+ у ? EtSjBu(Ey)ps(y)
Р(у)
ду,
р(у)
dy,dyj
р(у)
(5.3.71)
+ | dz[W{ey\z.)pli)p{EZ,t\y',G) - W{zy\z)pJ,z)p{y\ <|j>,0)] lps{y'). Подставим сюда условия детального баланса (5.3.53)
= II а<(у) jyPW’1 \у> °) + у S BiAy) зjjj;P(y'’1 \у> 0)
+ J dz[\V(z ly)p(z, t \у', 0) - W(z\у)р(У, t \у, 0)| рАуУрАу') • (5.3.72)
В члене в фигурных скобках мы теперь узнаем обратный оператор Чепмена — Колмогорова (см. разд. 3.6, (3.6.4)). В силу однородности процесса
р(у’, tly.O) =р(у,0\у, -/) и, наконец,
(5.3.72) = [р{у\ 11, 0)р,(уШу')] = /К*, 11 0).
(5.3.73)
Это означает, что р(х, /1 дг' ,0), определенная в (5.3.62), удовлетворяет прямому дифференциальному уравнению Чепмена — Колмогорова. Поскольку начальные условия апяр(х, t\x', 0) и р(х, /1дс',0) при t — 0 одни и те же (5.3.63), и решения единственны, достаточность условий детального баланса (5.3.53) доказана.
