Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Замечания
1) Все переменные четные. При этом условия существенно упрощаются, если ?. = +1 для всех /:
Щх | х')р3(х') = W(x' | х)р,(х) A,(x)ps(x) = ~ ? ^ [В^(х)рХх)] В0(х) = Ви(х)
(5.3.74)
(5.3.75)
(5.3.76)
202 Г лава 5
(последнее из этих условий тривиально). Условие (5.3.75) в точности совпадает с потенциальным условием (5.3.21), которое соответствует обращению в нуль потока вероятности в стационарном состоянии.
Условия (5.3.74, 75) вместе означают, что^Дх) удовлетворяет стационарному дифференциальному уравнению Чепмена — Колмогорова, что, вообще говоря, неверно для общих условий (5.3.53).
2) Уравнения Фоккера — Планка. Ван Кампен [5.7] и Грэм и Хакен [5.9] ввели понятие обратимого и необратимого сноса. Обратимый снос определяется равенством
убеждаемся, что для уравнений Фоккера — Планка условия детального баланса могут быть записаны в виде
где последнее равенство представляет собой просто стационарное уравнение Фоккера — Планка для ps(x), в которое подставлено выражение (5.3.53(1)). Как и в случае потенциальных условий, (5.3.81) дает уравнение для Эф/dXj, которое может быть удовлетворено лишь в случае выполнения определенных требований, накладываемых на Dt{x) и В^(х). Если матрица Ви(х) имеет обратную, то эти условия принимают вид
(5.3.83)
АС*) = 1 №,(*) + •(?*)]
(5.3.77)
а необратимый — равенством
1,(х) = \ 1А,(х) - ?//!;(?*] •
Пользуясь определением потенциала р?х) = exp [-fK*)],
(5.3.78)
(5.3.79)
е.еД/ех) = BtJ(x)
(5.3.80)
(5.3.81.)
(5.3.82)
dxj дхi ’
где
? = ? В~Лх)\2Dk(x) - E^BkJ(x)] ,
(5.3.84)
Уравнение Фоккера — Планка 203
и тогда
ps(x) = exp [—0(х)] = exp (J dx'-Z). (5.3.85)
Таким образом, как и в случае нулевого потока вероятности, ps(x) можно определить непосредственным интегрированием.
3) Связь между обратным и прямым операторами дифференциальных уравнений Чепмена — Колмогорова устанавливается принципом детального баланса. Доказательство достаточности условий сводится к установлению справедливости следующего утверждения: если f(x, t) есть решение прямого дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, то
/(х, г) = Дех, - t)/ps(x) (5.3.86)
является решением обратного дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова. Это соотношение будет использовано в разд. 5.3.7 для построения собственных функций.
5.3.6. ПРИМЕРЫ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА В УРАВНЕНИЯХ ФОККЕРА — ПЛАНКА
а) Уравнение Крамерса для броуновского движения [5.10].
Рассмотрим движение частицы в флуктуирующей среде. Пусть движение происходит в одном измерении и состояние частицы описывается координатой X и скоростью V. Дифференциальные уравнения имеют вид
d4=v (5.3.87)
at
и
dv __
= - V'(x) - pv + д/2pkT i(t). (5.3.88)
Это, по сути, уравнения Ланжевена (1.2.14), где для краткости мы пишем
6 ща = р
и где F(x) — потенциал, градиент которого V'(х) создает силу, действующую на частицу. В предположении, что физическая флуктуирующая сила ?(t) должна интерпретироваться как
= dW{t)
(5.3.89)
204 Г лава 5
(см. разд. 4.1), получаем стохастические дифференциальные уравнения dx = v dt (5.3.90)
т dv = ~[V'(x) + Mdt + y/2f}kTdW(t), (5.3.91)
которым соответствует уравнение Фоккера — Планка
I? = - h(vp) + iL {[v'(x) + w ¦ <5-3-92>
Это уравнение можно несколько упростить, введя масштабные переменные
У = Ху/ щ/кТ
и = v«fm/kf Щу) = V(x)lkT У = Plm ,
в которых УФП принимает вид
Ш " - Г, (“р) +1 + r Si (“р + Ш
(5.3.93)
(5.3.94)
(5.3.95)
(5.3.96)
(5.3.97)
Это выражение называется уравнением Крамерса.
Здесь координата у является четной переменной, а скорость и — нечетной (см. разд. 5.3.4). Коэффициенты сноса и диффузии могут быть записаны в виде
А(у, и)
В(у, и) =
кроме того,
- и\у) - уи\
0 0 ¦ .
О 2у\ '
'у' 'У "
и ---и
(5.3.98)
(5.3.99)
(5.3.100)
Проверим поочередно выполнение необходимых и достаточных условий детального баланса.
Уравнение Фоккера — Планка 205
Условие (5.3.53(3)) удовлетворяется тривиально. Условие (5.3.53(2)) несколько вырождено, поскольку В не обратима. Это условие можно записать в виде
0
