Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(2) Уравнение Фоккера — Планка (УФП). Диффузионное уравнение (1.2.10)— это частный случай УФП, которое описывает широкий класс очень интересных стохастических процессов, обладающих непрерывными реализациями. В рассматривавшейся ситуации это означает, что положение пыльцевых зерен, если считать, что оно подчиняется
11 В предыдущем рассуждении следовало бы поменять х + Л на х — Д,а уравнение (1.2.4), справедливое в том случае, когда f(x, () = f(x(t)) — неслучайная функция от случайного процесса, не имеющая характера плотности, поменять на уравнение
/(*, t + т) = \f(x - Д, t)4>(A)dA, (I)
справедливое, когда f(x, I) — плотность вероятностей величины х. Из (1) получаем, вместо (1.2.6, 7), знакопеременный ряд, как это и должно быть в разложении Крамерса — Мойала (7.2.25). Уравнение же (1.2.4) является сопряженным к (1) соответствующим транспонированному оператору. Однако из-за предположения о нулевом сносе т~]]Лф(A)dA знак перед Д не сказывается на окончательном результате (1.2.10).— Прим. ред.
Введение 25
вероятностному закону, определяемому решением диффузионного уравнения (1.2.10), можно записать в виде непрерывной случайной функции x(t) от времени (время t считается не дискретным, как у Эйнштейна, а непрерывным). Это побуждает рассмотреть возможность описывать динамику системы каким-либо прямым вероятностным способом; при этом мы имели бы случайное, или стохастическое, дифференциальное уравнение для указанной функции х (t). Начало этому направлению положил Ланжевен, предложивший свое известное уравнение, которое теперь носит его имя. Подробно эти вопросы будут рассматриваться в гл. 4.
(3) Разложение Крамерса — Мойала и аналогичные ему по существу совпадают с разложением, использованным Эйнштейном при переходе от (1.2.4) (уравнения Чепмена— Колмогорова) к диффузионному уравнению (1.2.10). Использование приближения такого типа, когда процесс с не обязательно непрерывным изменением переменных заменяется на процесс с непрерывным изменением, служило предметом дискуссии в последнее десятилетие. Удобство и условия применимости такого приближения будут обсуждаться в гл. 7.
1.2.2. УРАВНЕНИЕ ЛАНЖЕВЕНА
Спустя некоторое время после оригинальной работы Эйнштейна Ланжевен [1.4] предложил новый метод, совершенно отличный от эйнштейновского и, как он утверждал, бесконечно более простой. Его рассуждения были таковы.
Из статистической механики известно, что средняя кинетическая энергия броуновской частицы в равновесии должна составлять величину
= \kT (1.2.13)
(Т — абсолютная температура, к — постоянная Больцмана). Отметим, что и Эйнштейн и Смолуховский использовали этот факт. На частицу массы m будут действовать две силы:
1) сила торможения за счет вязкого трения, которая при допущении, что применим результат макроскопической гидродинамики, равна — бэт?iadx/dt, где ij — вязкость, а — диаметр частицы, предполагаемой сферической;
2) флуктуационная сила X, обусловленная постоянными толчками со стороны молекул жидкости. Она с равной вероятностью может быть положительна и отрицательна — вот и все, что об этой силе известно. Таким образом, уравнение движения для положения частицы
26 Г лава 1
дается законом Ньютона
d2x dx
mdi^==~~6KtiaJt+ > (1.2.14)
умножив обе части уравнения на х, можно представить его в виде
у?(^)-^2= -Ъща^+Хх, (1-2.15)
где v = dx/dt. Теперь усредняем по большому числу различных частиц и используем (1.2.13); в результате получаем уравнение для <х2>:
^+Ъща^1_кт, (1.2,6)
где член <хХ> считается равным нулю из-за нерегулярности, как пишет Ланжевен, величины X. Тогда находим общее решение
= кТЦЗлг/а) + С ехр (—блцш/т), (1.2.17)
где С — произвольная постоянная. По оценке Ланжевена при t <х> экспоненциальный член стремится к нулю с временной постоянной порядка 10“8 с, что для любого реального наблюдения тех лет было практически мгновенно. Следовательно, для практических целей этим членом можно пренебречь и, проинтегрировав еще раз, получить
<х2> - <Хп> = [кТ1{Зща)]1 ¦ (1.2.18)
Эта формула соответствует формуле (1.2.12), выведенной Эйнштейном, если ввести обозначение
D = кТЦвща), (1.2.19)
Уравнение Ланжевена было первым примером стохастического дифференциального уравнения — диффузионного уравнения со случайным членом X, поэтому его решение есть в некотором смысле случайная функция. Каждое решение уравнения Ланжевена представляет собой отдельную случайную траекторию, и, используя только достаточно простые характеристики случайной силы X, можно получить измеримые результаты.
Возникает следующий вопрос. Эйнштейн четко потребовал, чтобы (на достаточно больших временных масштабах) изменение величины Д совершенно не зависело от предшествующих значений Д. Ланжевен не упоминал это положение, но оно присутствует неявно, когда <хХ>
