Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Среднее и дисперсия очень мало говорят о внутреннем механизме происходящего. Представляла бы интерес величина, являющаяся мерой влияния значения х в момент t на значение в момент t + т. Такой величиной служит автокорреляционная функция, которая, по-видимому, впервые была введена Тейлором [1.11] как
1 Т
С(г) = lim J dt x(t)x(t + т) . (1.4.31)
г-~ I 0
Это есть среднее по некоторому временному интервалу Т (который затем устремляется к бесконечности) произведения значений х, взятых в два различных момента.
В наше время имеются специально созданные приборы — автокорреляторы, которые собирают данные и непосредственно конструируют автокорреляционную функцию различных требуемых процессов, начиная от рассеяния лазерного излучения и кончая счетом числа бактерий. Можно также составлять программы нахождения автокорреляционных функций для быстрой обработки в компьютерах, подключенных к эксперименту в реальном масштабе времени. Более того, для
38 Глава 1
сильно быстродействующих систем есть специальные автокорреляторы, которые дают аппроксимацию к автокорреляционной функции, рассчитывая автокорреляционную функцию переменной c(t) такой, что
ф) = 0 x(t) < I
, (1.4.32)
= 1 x(t) > /.
Более традиционный подход состоит в расчете спектральной плотности величины x(t), которая находится в два этапа. Сначала определяется спектр
у(со) = ] dt е-шх(1), (1.4.33)
О
а затем спектральная плотность определяется соотношением
5(со) = lim I 12 ¦ (1.4.34)
Спектральная и автокорреляционная функции тесно связаны. После несложного преобразования находим
S(co) — lim
1 т 1 T~z
— J cos (сот) dr -=• J x(t)x(t + т)dt
n 0 •* 0
(1.4.35)
и, беря предел T — со (при соответствующих предположениях, обеспечивающих возможность перестановки порядка операций), получаем
S(cu) = — J cos (on)G(r)dT . (1.4.36)
71 о
Этот фундаментальный результат устанавливает связь между преобразованием Фурье автокорреляционной функции и спектральной плотностью. Его можно записать в несколько ином виде, если заметить, что
G(-т) = lim^J \/tx(t +T)x(t) = G(т). (1.4.37)
г— 1 ir
Тогда получаем
S(a>) = ^ 5 е-‘Ш1С(т)Л (1.4.38)
Введение 39
и для соответствующего обратного преобразования
G(т) = J eimzS(oj)doj .
(1.4.39)
Это соотношение известно1) как теорема Винера — Хинчина [1.12, 13] и широко используется.
Полученный результат означает, что можно либо прямо измерять автокорреляционную функцию сигнала, а спектральную плотность находить с помощью преобразования Фурье, либо поступать наоборот, поскольку в обоих случаях при использовании быстрого преобразования Фурье и компьютера процедура достаточно проста.
1.4.3. ФУРЬЕ-АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ: СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
До сих пор автокорреляционная функция определялась как функция сигнала, усредненная по времени, но можно рассмотреть также усреднение по ансамблю, при котором одно и то же измерение повторяется много раз и результаты усредняются, что обозначается скобками < >. Далее будет показано, что для очень многих систем среднее по времени равно среднему по ансамблю. Такие системы называются эргоди-ческими (разд. 3.7.1).
Так, если имеется флуктуирующая величина x(t), то соотношение для среднего
<x{t)x(t + т)> = G( т) (1.4.40)
будет следствием предположения об эргодичности.
Весьма естественно написать преобразование Фурье для случайной величины x(t):
x(t) = J dw c(co) e‘“‘. (1.4.41)
а значит,
c(co) = ^ J di x(t) е-‘“ . (1.4.42)
11 Точнее эта теорема формулируется так: для того, чтобы функция С(г) представляла собой корреляционную функцию некоторого непрерывного стационарного процесса, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде (1.4.39), где S(oj) — неотрицательная функция, имеющая, возможно, особенности типа дельта-функции. — Прим. ред.
40 Глава 1
Вследствие действительности величины x(t) имеем1* с(со) = с*(—со).
(1.4.43)
Если система эргодична, то величина <*(/)> должна быть константой, поскольку, очевидно, временное среднее постоянно. В таком случае процесс стационарен. Под этим понимается, что все зависящие от времени средние — функции только разностей времен, т. е., например, средние от функций x(t{), x(t2), ... , x(tn) равны средним от x(t{ + Д), x(t2 + Д), ... , x(tn + Д).
Для удобства дальше предполагается, что (х) = 0. Следовательно,
Мы получили, что стационарность сама по себе влечет некоррелированность с (со) и с* (а/) при со Ф со', поскольку б (со — со') возникает как следствие зависимости (x(t)x(t' )> только от разности времен t —