Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.4. ШУМ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ
На раннем этапе развития радио, когда передаваемые мощности были низкими и использовались примитивные приемники, для каждого слушателя было очевидно присутствие большого числа нерегулярных
32 Глава 1
электрических сигналов. Эти сигналы возникали либо в атмосфере, либо в приемнике, либо в радиопередатчике и получили общее название «шумы», поскольку именно так они воспринимались по радио. Мы остановимся на так называемых дробовом и джонсоновском, или тепловом, шумах.
] .4.1. ДРОБОВОЙ ШУМ
В радиолампах- (и в твердотельных устройствах) электрический ток нестационарен: он создается отдельными электронами, которые на каком-то участке пути ускоряются и, достигая анода в разное время, передают ему свой заряд. Электрический ток, возникающий при таком процессе, можно представить в виде
/(О = ?*¦('- '*) , (1.4.1)
h
где F(t — tк) есть вклад электрона, попадающего на анод в момент tk. Таким образом, предполагается, что все электроны дают электрические импульсы одинаковой формы, но с разной (каждый со своей) временной задержкой, как показано на рис. 1.4.
Статистический аспект возникает сразу же, стоит только задаться вопросом, какого рода предположения нужно сделать относительно времен tk. Простейший выбор заключается в том, что каждый электрон поступает на анод независимо от предыдущих. Это означает, что времена tk случайно распределены в рассматриваемом временном интервале, скажем от — оо до + оо, причем задано среднее число попаданий в единицу времени.
Теория такого шума развивалась в 1920 — 1930-х гг. и была обобщена и в основном завершена Райсом [1.9]. Впервые попытку ее построения предпринял в 1918 г. Шоттки [1.10].
Дальше будет показано, что есть тесная связь между дробовым шумом и процессами рождения — гибели, описываемыми соответствующими управляющими уравнениями. Действительно, если считать
Время
Рис. 1.4. Дробовой шум: идентичные электрические импульсы, приходящие случайно по времени.
Введение 33
число электронов п, которые прибывают до момента t, статистической величиной, описываемой вероятностью Р (п, t), то предположение
о независимости прибытия электронов, очевидно, есть предположение
о марковости этого процесса. Предположим, что вероятность прибытия электрона во временном интервале между t и t + At полностью независима от / и п, а может зависеть только от At. Выбирая соответствующую константу А, можно записать вероятность скачка
Prob (п — п + 1, за время At) = АДf, (1 -4.2)
так что
Р(п, t + At) = Р(п, i) (1 - Ш) + Р{п - 1, г)Ш Взяв предел при At — 0, получаем уравнение
описывающее в чистом виде процесс рождения. Полагая
G(s, t) = ^s"P(n, t) (1.4.5)
(1.4.3)
(1.4.4)
(здесь G (s', 0 — так называемая производящая функция для Р(п, t); использующий ее специальный метод решения уравнения (1.4.4) довольно широко применяется), находим
^-^=A(j- 1)G(j,0, (1.4.6)
так что
G(s, t) = exp [A(j- 1)/]G(j, 0). (1.4.7)
Требование, что в момент t — 0 никакие электроны еще не успели попасть на анод, означает, что вероятность Р{0, 0) равна 1, а Р(я, 0) — нулю для всех п ^ 1, так что G(s, 0) = 1. Разлагая решение (1.4.7) в ряд по степеням 5, получаем распределение
Р{п, t) = exp {—It) (kt)"jn\, (1.4.8)
известное как распределение Пуассона (разд. 2.8.3). Введем случайную переменную N(t), которую следует рассматривать как число электронов, которые поступили к моменту t. В таком случае
Р(п, t) = Prob {N(t) = п};
(1.4.9)
34 Глава 1
N(t) можно назвать переменной пуассоновского процесса. Тогда ясно, что величина ц(1), формально определяемая как
ц(0 = dN(t)/dt, (1.4.10)
равна нулю всюду, за исключением тех моментов, когда N(t) увеличивается на 1, т. е. эта функция есть сумма дельта-функций Дирака
к
где tk — время прихода отдельных электронов. Для тока можем написать
I(t) = - 1'ЫП ¦ (1.4.12)
Довольно естественные ограничения на функцию F(t — t') состоят в том, что она равна нулю при t < t' и при t — оо. Первое условие означает просто, что ток от электрона отсутствует до момента его
прибытия, второе — что вызванный электроном импульс в конце концов затухает. Далее, воспользуемся для простоты весьма часто встречающейся формой
F(t) = q е~а' (t > 0)
(1.4.13)
= 0 (/ < 0).
Тогда (1.4.12) перепишем в виде
— Г dN(t)
I(t) = J dt'q е
(1.4.14)
Можно вывести простое дифференциальное уравнение для /(/). Продифференцировав 1(0 по времени, получим
