Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
| а) Когерентное состояние
|| а) Состояние Баргмана
t
fG(t')dfV(t') Стохастический интеграл Ито
1г\
t
S\G(t')dW(t') Стохастический интеграл Стратоновича
/(s) = j е s‘f(t) Преобразование Лапласа от функции/(f)
о
1
Введение
1.1. ПРЕДЫСТОРИЯ ВОПРОСА
Можно сказать, что вплоть до конца XIX в. теоретики изучали дифференциальные уравнения и моделирование явлений природы их детерминированными решениями. В то время бытовало представление, что, зная все начальные данные, можно с определенностью предсказывать будущее.
Теперь мы знаем, что это не так по крайней мере по двум причинам. Во-первых, рождение квантовой механики в первой четверти XX в. дало начало новой физике, а значит, и новым теоретическим основам всех наук, которые содержат чисто статистический элемент. Во-вторых, уже позднее возникла концепция хаоса, которая показала, что даже довольно простые системы дифференциальных уравнений обладают поразительным свойством демонстрировать существенно непредсказуемое поведение. Разумеется, можно предсказать будущее такой системы, если известны точные начальные условия, однако любая неточность в их задании так быстро возрастает, что практически никакой предсказуемости нет. Конечно, само существование хаоса не столь удивительно, поскольку это лучше согласуется с нашим повседневным опытом, чем полная предсказуемость. Удивительно другое —
Рис. 1.1. Зависимость выхода реакции изомеризации X А от времени, полученная стохастическим моделированием.
20 Глава 1
сколько времени потребовалось, чтобы сделать шаг к описанию и пониманию этого явления.
В этой главе мы не будем специально останавливаться на хаосе и квантовой механике. Я хочу дать краткое полуисторического характера описание того, как возникла теория флуктуационных явлений и каковы ее основные положения. Уже сама полезность моделей, способных давать предсказания, показывает, что жизнь не полностью случайна. Однако у предсказуемости существует предел, и основная часть этой книги посвящена как раз моделям ограниченной предсказуемости. При тщательных научных измерениях обычно получают данные, похожие на те, которые представлены на рис. 1.1 (здесь это рост числа молекул вещества X, образовавшихся при химической реакции вида X ^ А). Налицо четко детерминированное поведение, и оно воспроизводимо в отличие от сопутствующих невоспроизводимых 'флуктуаций.
1.2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
1.2.1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Взвешенные в воде мельчайшие пыльцевые зерна находятся в очень оживленном и беспорядочном движении. Это явление систематически исследовал Роберт Броун в 1827 г., и в его честь оно получило название броуновского движения. Броун был ботаником, к тому же очень известным, и конечно проверил, не есть ли это движение какое-то проявление жизни. Показав, что оно присутствует в суспензии любых мельчайших частиц (полученных из стекла, минералов и даже из осколка сфинкса), он исключил какое-либо специфически органическое его происхождение. Иллюстрацией броуновского движения служит рис. 1.2.
Рис. 1.2. Движение броуновской частицы.
Введение 21
Броуновское движение долго оставалось загадкой: удовлетворительное объяснение отсутствовало вплоть до 1905 г., когда Эйнштейн [1.2] опубликовал свое объяснение под довольно скромным названием “Uber die von der molekular-kinetischen Theorie der Warme geforderte Be-wegung von in ruhenden Fliissigkeiten suspendierten Teilchen” (О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молеку-лярно-кинетической теорией теплоты). Такое же объяснение независимо предложил Смолуховский [1.3], который внес значительный вклад в дальнейшее развитие теории броуновского движения и ее экспериментальную проверку.
В решении проблемы броуновского движения, предложенном Эйнштейном, основные моменты следующие:
1) движение броуновской частицы вызывается крайне частыми ударами со стороны непрестанно движущихся молекул окружающей жидкости;
2) движение этих молекул столь нерегулярно, что их воздействие на взвешенные частицы можно описать только вероятностным образом в предположении очень частых, статистически независимых ударов.
Наличие таких флуктуаций означает, что интересующее нас явление требует объяснения в рамках статистического подхода. В своих знаменитых газовых теориях Максвелл и Больцман уже использовали статистику, но для описания возможных состояний и вероятности их достижения, а не временной эволюции системы. Статистическое описание в этом аспекте первым рассмотрел Рэлей [1.1], но так сложилось, что его работа не имела продолжения. Практически именно объяснение броуновского движения, данное Эйнштейном, нужно считать началом стохастического моделирования природных явлений.
Рассуждения Эйнштейна очень ясные и четкие. Они содержат все основные положения, которые составляют предмет данной книги. Вместо того чтобы пересказывать классическую работу, я просто приведу обширную выдержку из статьи Эйнштейна:
