Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 19

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 185 >> Следующая


dM

dt

q е-

a(r-l') dN(t ) dt

(1.4.15)

откуда следует dl( 0

dt

= -ai(t) + gKO ¦

(1.4.16)

Это стохастическое дифференциальное уравнение того же вида, что и уравнение Ланжевена, в котором, однако, флуктуационная сила дается
Введение 35

членом qn (t), где n(t) есть производная процесса Пуассона, определяемая соотношением (1.4.11). Однако среднее значение ц (t) не равно нулю. В самом деле, из (1.4.10) имеем

(M(t)dty = <dN(t)> = Xdt (1.4.17)

<[dN(t) - Mt]2} = kdt , (1.4.18)

поскольку для любой величины, распределенной по закону Пуассона, в том числе и для dN, дисперсия равна среднему. Определяя затем флуктуацию как разность между dN(t) и средним значением, записываем

dtj(t) = dN(t) — kdt, (1.4.19)

так что стохастическое дифференциальное уравнение (1.4.16) принимает вид

dl(t) = [).q - al(t)] dt + qdrj(t) . (1 4 2Q)

Возникает вопрос, как решать такое уравнение? В данном случае, когда решение известно, это вопрос чисто теоретический, но хотелось бы располагать общим методом. Если мы попробуем следовать методу, использованному Ланжевеном, то придем к бессмыслице. Например, используя обычное исчисление и предполагая <I(t)di)(t)> = 0, можно вывести выражения

= kq- а<ДО> (1.4.21)

т = Xq{my ~а<т)' (1 А22>

Беря их в пределе / — оо, при котором средние значения естественно считать постоянными, находим

{/(оо)) = Xqja (1.4.23)

</2(оо)> = (Xqja)2 . (1.4.24)

Первый из этих ответов понятен — он просто выражает средний ток в системе, однако второй подразумевает, что среднеквадратичный ток равен квадрату среднего тока, т. е. что ток при t — оо не флуктуирует! Это весьма странно, и решение этого вопроса, приводимое ниже,
36 Глава 1

покажет, что стохастические дифференциальные уравнения гораздо «коварнее», чем мы их здесь до сих пор представляли.

Во-первых, использованная в (1.4.17 — 20) запись через дифференциалы была выбрана умышленно. При выводе (1.4.22) использовалось обычное исчисление, т. е. записывалось

d(P) = (/ + dlf - Я = 2Idl + (dl)2, (1.4.25)

а затем вклад (dl)2 опускался, как член второго порядка по dl. Посмотрим теперь внимательно на (1.4.18). Эта формула эквивалентна соотношению

<^(о2> = (1.4.26)

так что величина второго порядка по dr] оказывается на самом деле величиной первого порядка по dt. Причину этого нетрудно обнаружить. Действительно,

drj(t) = dN(t)- kdt. (1.4.27)

Однако зависимость TV(0 есть ступенчатая функция, имеющая разрывы, а значит, недифференцируемая в моменты прибытия отдельных электронов. В обычном понимании все произведенные в этих расчетах манипуляции недопустимы. Им можно придать смысл следующим образом. Вычислим <d(12)>, используя (1.4.20, 25, 26):

<</(/)*> = 2</{[/<7 - al]dt + q dr,(t)})

+ <{[/? - al]dt + qdn(t)}2y . (1.4.28)

Снова предполагаем, что <I(t)dr\(t)> = 0, и после усреднения с учетом соотношения <dr)(t)2> = Kdt оставляем члены первого порядка по dt. Получаем

АЯФ - «</2>

dt (1.4.29)

jd(P) = и это дает

</2(оо)> - </(^)>2 = ^ . (1.4.30)

Таким образом, при данном подходе при t — оо флуктуации существуют. Член в (1.4.29), дополнительный по сравнению с (1.4.22), возник именно благодаря статистическим свойствам, неявно присутствовавшим в случайной разрывной функции N(t).
Введение 37

Итак, мы провели несколько более глубокое рассмотрение уравнения ланжевеновского типа, трактовка которого с этой точки зрения выглядит достаточно простой. В ланжевеновском методе флуктуа-ционная сила X точно не определена, но из дальнейшего изложения станет ясно, что вопросы, подобные только что рассмотренным, очень часто встречаются при изучении темы данной книги. Вывод состоит в том, что случайные функции нельзя дифференцировать по обычным правилам — следует развить специальные методы и важно дать точное определение, что понимать в этом случае под дифференцированием. Возникающие здесь проблемы и их решения будут разобраны в гл. 4, в которой рассмотрены случаи гауссовских флуктуаций.

1.4.2. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ

Число различных измерений, которые можно провести во флуктуирующих системах, таких, скажем, как электрические цепи, в действительности ограниченно. До сих пор мы рассматривали функции распределения, которые для любого момента указывают распределение вероятностей значений случайной величины. Если рассматривается измеримая величина x(t), флуктуирующая со временем, то на практике иногда удается найти распределение значений х, хотя более типична одновременная доступность измерению среднего значения x(t) и дисперсии D\x(t) \.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed