Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
«Следует с определенностью предположить, что каждая отдельная частица совершает движение независимо от движений всех других частиц; движения одной и той же частицы в разные временные интервалы также следует считать независимыми процессами до тех лор, пока эти временные интервалы не с лишком малы.
Введем в рассмотрение временной интервал г, очень малый по сравнению с временными интервалами наблюдения, но тем не менее настолько большой, чтобы движения, совершаемые частицей в два последующих временных интервала г, можно было считать независимыми.
22 Г лава 1
Предположим теперь, что всего в жидкости взвешено п частиц. За время т ^-координата данной частицы возрастает на величину Д, причем для каждой частицы Д имеет свое (положительное или отрицательное) значение. Будет иметь место определенный закон частоты повторяемости значения Д; число dn частиц, у которых величина смещения лежит в интервале от Д до Д + dA, можно выразить уравнением следующего вида:
dn = пф{А)<1А, (1.2.1)
где
]ф(А)ёА=1, (1.2.2)
а ф отлично от нуля только для очень малых значений Д и удовлетворяет условию
ф(А) = ф(-А). (1.2.3)
Исследуем теперь, как коэффициент диффузии зависит от ф. Снова ограничимся случаем, когда число частиц v в единице объема зависит только от л- и г.
Пусть v = f(x, t) есть число частиц в единице объема. Найдем распределение частиц в момент t + т, исходя из распределения в момент t. Пользуясь определением функции ф(Д), легко найти число тех частиц, которые в момент t + т находятся между двумя плоскостями, перпендикулярными оси* и проходящими через точки х тлх + dx. Получаем
f{x, t + т)dx = dx J f(x + A, t)ф(А)с/А . (1.2.4)
Но поскольку т очень мало, мы можем положить
f(x, t + т) =/(*, О + т|?. (1.2.5)
Далее,/(х + Д, t) разлагаем по степеням Д:
f(x + A, t) =f(x, t) + А
Щх, t) А2_ d2f(x, t)
dx 2! dx2 +
(1.2.6)
Введение 23
Эти разложения можно использовать под знаком интеграла, так как только малые значения А дают вклад в уравнение. Имеем
/+§=т=/_( ФШЛ + Щ Аф(Л)<1А + Щ у ф(Д)<1А . (1.2.7)
Вследствие того что ф(х) — ф(—х), второй, четвертый и последующие члены четных номеров в правой части равны нулю. В последовательности из первого, третьего, пятого и других нечетных номеров каждый последующий член существенно меньше предыдущего. Из приведенного соотношения, принимая во внимание, что
J ф(А)<1А = 1, (1.2.8)
полагая
j-]j#4)d/l = D (1.2.9)
и удерживая в правой части только первый и третий члены, находим
%-Ь%~ (1.2.10)
Это не что иное, как известное1* дифференциальное уравнение диффузии, и видно, что D — коэффициент диффузии...
Рассмотренная задача, соответствующая задаче о диффузии из одной точки (в пренебрежении взаимодействием между диффундирующими частицами), теперь математически полностью определена: ее решение есть
и p-xl-unt
= VT (1-2Л1)
Теперь с помощью полученной формулы рассчитаем перемещение \х в направлении оси X, совершаемое частицей в среднем, — точнее, квадратный корень из среднего квадрата смещения в направлении оси X;
11 Уравнение (1.2.10) для числа fix) частиц в единице объема было известно до работы Эйнштейна, так как оно следует из формулы G = —Dbf/dx, определяющей диффузионный поток, и из уравнения непрерывности df/dt + dG/dx = 0, т. е. уравнения, выражающего закон сохранения числа частиц. Важный результат данной работы Эйнштейна в том, что он впервые выразил коэффициент диффузии (флуктуационную характеристику) через коэффициент трения (диссипационную характеристику). — Прим. ред.
24 Г лава 1
получаем:
К = v7*5 = */2Di ¦ ” (1.2.12)
Приведенное рассмотрение Эйнштейна фактически основывается на предположении, что время дискретно, т.е. соударения происходят только в моменты 0, т, 2т, 3г ... , поэтому результирующее уравнение
(1.2.10) для функции распределения /(xr, t), а также его решение
(1.2.11) следует рассматривать как приближения, в которых г предполагается настолько малым, что время t можно считать почти непрерывным. Тем не менее описание Эйнштейна содержит очень многое из тех подходов, которые впоследствии развивались в сторону общности и строгости и в данной книге занимают центральное место. Например:
1) Уравнение Чепмена — Колмогорова до известной степени подобно уравнению Эйнштейна (1.2.4). Оно гласит, что вероятность нахождения частицы в точке х в момент t + т дается суммой вероятностей всех возможных смещений Д из положения х + Д, умноженной на вероятность нахождения в точке х + Д в момент tЭто предположение основано на независимости скачка Д от какой-либо предыстории движения: необходимо знать начальное положение частицы только в момент t, а не в какие-либо предшествующие моменты. Это и есть постулат Маркова, и уравнение Чепмена — Колмогорова, частную форму которого представляет уравнение (1.2.4), является основным динамическим уравнением всех марковских процессов. Последние будут детально рассмотрены в гл. 3.
