Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.4.4. ТЕПЛОВОЙ ШУМ И ТЕОРЕМА НАЙКВИСТА
В 1928 г. вышли две короткие и изящные статьи. В одной из них Джонсон [1.14] экспериментально показал, что электрическое сопротивление само генерирует флуктуации электрического напряжения, в другой Найквист [1.15] дал теоретический вывод этого эффекта в полном соответствии с экспериментом Джонсона. Руководящий принцип был высказан еще Шоттки [1.10] и совпадает с тем, который исполь-
11 Интеграл в правой части (1.4.42), вообще говоря, не является сходящимся, равно как и интеграл
(2-K)-'\t'w,du = 5(t),
дающий спектральное представление дельта-функции. Поэтому с(ш) и b(t) следует понимать как обобщенные функции. Получаемое из (1.4.45) равенство <1с(ш)2> = 3(0)5(0) = = оо свидетельствует о том, что указанный интеграл не равен всегда конечной величине. Обычные (конечные) величины и функции мы получим только после некоторой интегральной операции, произведенной над с(ш) и <5(/). — Прим. ред.
(1.4.44)
<с(со)с*(со')> = JJ dt А'е-‘“+1«"'<*(0*(0>
= 8(со — со') J dx eimrG(т)
= 5(<w — w')S(co).
(1.4.45)
Введение 41
зовали Эйнштейн и Ланжевен. Это принцип теплового равновесия. Если сопротивление R создает флуктуации электрического напряжения, то они в свою очередь вызывают ток, который обусловливает выделение тепла на сопротивлении. Это тепло должно точно соответствовать энергии, взятой из флуктуаций. Детальная разработка этого принципа не является предметом данного раздела, но мы увидим, что такого рода выводы общеприняты в физике и химии стохастических процессов. При этом законы статистической механики, основа которых не связана по существу с стохастичностью, привлекаются, чтобы дополнить законы стохастических процессов. Установленный экспериментальный результат заключался в следующем. Пусть имеется электрическое сопротивление R при абсолютной температуре Т. Предположим, что с помощью подходящего фильтра мы измерили ?'(со) — напряжение на сопротивление, соответствующее интервалу угловых частот (со, со + dсо). Тогда, если обозначить через к постоянную Больцмана, имеем
<?’2(со)> = ir-'RkTdсо. (1.4.46)
Теперь это соотношение называется теоремой Найквиста]\ Джонсон заметил: «Это явление служит одной из причин того, что называется в ламповых усилителях «шумом электронных ламп». В самом деле, часто оно существенно доминирует в шуме хорошего усилителя».
Тепловой шум просто описывается с помощью математического аппарата, представленного в разд. 1.4.3. Если среднее шумовое напряжение на сопротивлении равно нулю и система находится в устойчивом состоянии, то это напряжение можно трактовать как стационар ный процесс. Величина теплового шума фактически представляет собой предел типа (1.4.34) и количественно может быть полностью описана утверждением, что спектральная плотность 5 (со) дается формулой
5(со) = ir~lRkT. (1.4.47)
Это означает, что спектральная плотность имеет вид плато, т. е. не зависит от со. В случае света различные частоты соответствуют разным цветам. Если мы воспринимаем свет как белый, то, как уетанов-
Более обше, теорема, или формула, Найквиста S(u) = ir~ 1 kTReZ(ioi)
определяет спектральную плотность флуктуационной э.д.с. rf (l), возникающей в двухполюснике, который имеет импеданс Z(/u) и находится в тепловом равновесии при температуре Т. — Прим. ред.
42 Глава 1
лено, свет всех цветов представлен в нем практически в равных пропорциях. Таким образом, оптический спектр белого света платообразен, по крайней мере в видимом диапазоне. По аналогии с этим термин белый шум применяется по отношению к шумовому напряжению (или к любой другой флуктуирующей величине), спектр которой имеет вид плато.
В действительности белый шум не может существовать. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что средняя мощность, дис-сипируемая на сопротивлении в частотном диапазоне (ш,, ш2), дается формулой
“2
J da> S(to)jR = ж~1кТ(ы1 - ш2), (1.4.48)
ш,
так что полная диссипируемая на всех частотах мощность бесконечна! Найквист осознал это и отметил, что на самом деле возникли бы квантовые поправки, с учетом которых при комнатной температуре спектр оставался бы постоянным только до частот порядка 7-1013 Гц, которые на практике радиоприемником не регистрируются. Реально диссипируемая на сопротивлении мощность составила бы ничтожную величину порядка 10“10 Вт! Кроме того, в действительности существуют другие лимитирующие факторы, такие, например, как индуктивность системы, которые ограничат спектр еще более низкими частотами.
Из определения спектра через автокорреляционную функцию, данного в разд. 1.4.2, имеем
(1.4.49)
<?(/ + т )?(/)> = <?(т)
1 7 j , 'т (1.4.50)
