Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Дни
Жертвы р
/ 'Хищники
200
в.
го
0 S
Рис. 1.3. Поведение во времени систем хищник — жертва: а — графики решений детерминистических уравнений (1.3.2) (х — сплошная линия, у—штриховая); 6 — данные для реальной системы хищник — жертва. Здесь хищником является клещ (Eotetranychus sexmaculatus — пунктирная линия), а жертвой служит клещ другого вида (Typhlodromus occidentalis), питающийся апельсинами. Данные из [1.16, 17]; в — модельные зависимости согласно стохастическим уравнениям (1.3.3).
30 Глава 1
большого числа жертв, когда их становится недостаточно для поддержания популяции хищников, хищники вымирают, и ситуация возвращается к исходной. Циклы повторяются неограниченно долго, и они в самом деле, по крайней мере качественно, отражают свойства многих реальных систем хищник — жертва. Пример приведен на рис. 1.3,6.
Конечно, реальные системы не следуют точно решениям дифференциальных уравнений, а флуктуируют около них. Следует учесть эти флуктуации, и проще всего сделать это с помощью управляющего уравнения для процессов рождения — гибели. Мы задаем распределение вероятности Р(х, у, t) для числа особей в заданный момент и ищем вероятностный закон для изменений (1.3.2). При этом предполагаем, что для бесконечно малого временного интервала At имеют место следующие формулы для вероятностей переходов'.
Prob (х —- х-г 1; v — у) = k^axAt (1.3.3а)
Следовательно, мы просто заменяем, скажем, обычные уравнения для скоростей на вероятностные уравнения. Затем мы используем прием, который приводит к такому же уравнению, какое использовали Эйнштейн и другие, т. е. к уравнению Чепмена — Колмогорова, а именно записываем вероятность в момент t + At как сумму членов, каждый из которых представляет вероятность предыдущего состояния, умноженную на вероятность перехода в состояние (х, у). Таким образом, мы находим
х Р(х + 1, V - 1, о ~г к3()> + ОД*, У +1,0- (М* + к2ху + к3у)
и, полагая At — 0, получаем дР(х, у, t)/dt. При написании вероятностных законов (1.3.3) мы предполагаем, что вероятность каждого из происходящих событий определяется просто заданием х и у. Это опять постулат Маркова, который упоминался в разд. 1.2.1. Если для броуновского движения имеются весьма убедительные аргументы в пользу предположения о марковости, то в данном случае такое предположение вовсе не очевидно. Общее представление о наследственности, т. е. о том, что поведение потомства соотносится с поведением родителей, явно противоречит этому предположению. Однако как
Prob (х —- х— 1; у —- у+1) = k2xyAt
Prob (х -* x: v — >’—1) = k3yAt
Prob (х —- х; у —->')== 1 —{кхах + к2ху + к3у)At.
(1.3.36)
(1.3.3в) (1.3.Зг)
Р(х, у, t + At) — Р(х, у, t) At
к,а(х - 1 )Р(х -],y,t) + к2(х + 1) (у - 1)
X Р(х, у, 0
(1.3.4)
Введение 31
учесть наследственность — это другой вопрос, и здесь отнюдь не существует единого рецепта.
Предположение о марковости в данных условиях выполняется до тех пор, пока различные особи одного вида можно считать идентичными. Но оно не выполняется, коль скоро существенны имеющиеся на самом деле наследственно передаваемые различия.
Модель указанного типа имеет широкое применение. В самом деле, она годится для любой системы, в которой рассматривается число экземпляров данного вида, например в случае систем молекул различных химических соединений, электронов, фотонов и аналогичных физических частиц, а не только для биологических систем. Конкретный выбор вероятностей переходов делается на различных основаниях и зависит от степени знания деталей рассматриваемых процессов рождения — гибели. Простые мультипликативные законы, аналогичные (1.3.3), игнорируют почти все детали рассматриваемых процессов. В отдельных физических процессах можно вывести вероятности переходов детальнее и с большей точностью.
Уравнение (1.3.4) не имеет простого решения, но от уравнения лан-жевеновского типа, в которое флуктуационный член просто добавляется, его и ему подобные уравнения отличает одно основное свойство. Решения уравнения (1.3.4) определяют как крупномасштабные детерминированные изменения, так и флуктуации, которые, как правило, по порядку величины определяются квадратным корнем из числа рассматриваемых объектов. Нетрудно смоделировать временное развитие процесса подобно тому, что представлено на рис. 1.3,в. В самом деле, рисунок показывает, что модель правильно воспроизводит общие свойства процесса, но очевидно, что она настолько упрощена, что и нельзя ожидать точного согласия с экспериментом. Следовательно, в противоположность ситуации с броуновским движением здесь мы имеем дело не столько с теорией явления, сколько с определенным классом математических моделей, которые достаточно просты и приближенно действуют в достаточно широком диапазоне. В гл. 7 мы увидим, что может быть развита теория, оперирующая с большим разнообразием моделей этого класса, и что, кроме того, в действительности есть тесная связь между такого рода теорией и теорией стохастических дифференциальных уравнений.
