Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предисловие к 2-му изданию
В этом издании исправлены замеченные опечатки и внесены некоторые более существенные изменения. В частности, я переписал заново разд. 4.2.3 и 4.3.6, используя более корректное определение стохастического интеграла Стратоновича, и прояснил прежде запутанное изложение материала о границах в разд. 5.2.1 д. Я также переписал разд. 6.3.3 и 6.4.5в с учетом последних достижений в этих областях, несколько расширил библиографию и добавил ссылки на новую литературу.
Пасадена, Калифорния Март, 1985
К. В. Гардинер
Предисловие к 1-му изданию
В этой книге я стремился сравнительно простым языком и в причинно-следственно связанной форме изложить все те формулы и методы, которые рассеяны в научной литературе по стохастическим методам и используются в течение последних 80 лет. Могло бы показаться, что это не нужно, поскольку есть ряд книг с названиями «Стохастические процессы» или близкими этому. Однако внимательное их прочтение скоро показывает, что цель написания этих книг не совпадает с моей. Есть книги, чисто теоретические и сильно математизированные, есть книги, относящиеся к электротехнике и теорий связи, есть книги для биологов. Многие из них очень хороши, но ни одна из них не охватывает те приложения, которые в последнее время так часто появляются в статистической физике, физической химии, квантовой оптике, электронике и во многих других областях теоретических исследований, образующих часть предмета исследования синергетики, которой посвящена данная серия, включающая и эту книгу.
Основной новый момент в подходе этой книги состоит в том внимании, которое уделено методам аппроксимации проблем или их переформулировке для последующей аппроксимации. Я полностью сознаю, что многие исследователи не найдут здесь используемых ими методов. Мой критерий отбора состоял в том, систематична ли данная аппроксимация. Многие приближения основаны на необоснованных или неконтролируемых предположениях и оправдываются апостериори. Такие приближения не могут быть предметом систематизирующей книги, по крайней мере до тех пор пока они не будут точно сформулированы и область их применимости не будет проконтролирована. В некоторых случаях я смог изложить ряд аппроксимаций на систематической основе (и они вошли в книгу), в других случаях мне это не удалось. Часть вопросов была исключена по соображениям места и времени. Возможно также, что некоторые вопросы я просто упустил из виду.
Несколько слов о предполагаемой подготовке. Читатель должен хорошо владеть практикой расчетов, включая контурное интегрирование, матричную алгебру, дифференциальные уравнения, как обыкновенные, так и в частных производных, на уровне, предполагаемом по-
Предисловие к 1-му изданию
еле окончания института по специальностям прикладная математика, физика, или теоретическая химия. Эта книга — не запись специального курса лекций, хотя она и включает раздел, который был использован в курсе по физике для аспирантов в университете Вайкато. Этот раздел содержит материал, который, как я предполагаю, хорошо знаком любому аспиранту, специализирующемуся по квантовой оптике и теории стохастических процессов. В книге есть, таким образом, определенный уклон в сторону моих личных интересов, что является при вилегией автора.
Я ожидаю, что читать книгу будут в основном теоретики (физики и химики), и исходя из этого, выбрал общий стандарт изложения. Эта книга не является строгой в математическом смысле, но она содержит такие результаты, которые, я уверен, доказываются строго, и эти доказательства могут быть развиты из приводимых здесь примеров.
Построение книги показано на представленной схеме. Некоторых читателей может удивить, что изложив общие свойства марковских процессов, в дальнейшем рассмотрении я использую концепцию стохастических дифференциальных уравнений, которая хотя и привлекательна, но сложна. Я поступил так, поскольку из своего опыта знаю, что методы стохастических дифференциальных уравнений просты для того, кто уже освоил технику Ито. Последние я ввожу в гл. 4 весьма доступным образом, не встречавшимся мне ни в одной предыдущей книге. Это правда, что стохастические дифференциальные уравнения не содержат ничего, что не содержалось бы в уравнении Фоккера — Планка, но стохастические дифференциальные уравнения настолько удобнее в обращении, что лишь ревностный пурист пытался бы избежать этого подхода. С другой стороны, только пуристы из противо положного лагеря стали бы пытаться развивать теорию без уравнения Фоккера — Планка. В гл. 5 оно вводится как дополнительный и иногда эквивалентный метод исследования тех же проблем. Гл. 6 завершает то, что можно было бы считать «сердцевиной» книги, изложением двух основных подходов при аппроксимации: разложения по малому шуму и адиабатического исключения.
Остальная часть книги строится вокруг этой сердцевины, так как очень многие методы рассмотрения скачкообразных процессов в гл. 7, а также пространственно-распределительных систем (которые сами лучше всего описывать как скачкообразные процессы) обусловлены сведением системы к аппроксимирующему диффузионному процессу. Таким образом, хотя логически понятие скачкообразного процесса гораздо проще, чем понятие диффузионного процесса, с точки зрения аналитики и методов расчета верно обратное.
