Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Л(<о)=0 (35)
при комплексных (о. Эту операцию при условии іxM<^.m2pL удается выполнить с помощью склейки асимптотических разложений для радиальной функции, полученной в перекрывающихся между собой областях изменения переменной г.
Покажем предварительно, что отыскание собственных значений энергии связанных состояний с помощью условия регулярности в начале координат можно применять и к задаче о спектре дайона в плоском пространстве-времени, причем решением уравнения, аналогичного (35), будут в этом случае вещественные значения энергии. В пространстве Минковского (а=М = A = O) угловые функции представляют собой спиновые сферические гармоники веса s=eP, epSi,m-eP (0), а собственное значение
K=l{l+l) — (eP)2. (36)
Радиальное уравнение (12) в результате введения новой переменной z=2r\n\ сводится к уравнению Уиттекера для функции f (Z)= г/г
d*f 4 Ґ , 1/4-Pa
dz2
(ІЧ+-^)'-"- (37)
где q =—eQco/|x|, р= (1/4+Ar-e2Q2)1/2. Решение этого уравнения, экспоненциально спадающее при 1, есть функция Уиттекера f=Wq,p(z). Рассмотрим поведение этого решения при z->-0:
Wqp--г (-2р)-21/2+Р +-rJM-Z^2-P. (38)
г(т-'-) Г(т + Н
Требование регулярности в начале координат приводит к условию квантования
1/2+ р—q= —гіг, «г= 1,2,3, . . . , (39) § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
237 ^
¦при этом гамма-функция в знаменателе второго слагаемого обращается в бесконечность. Отсюда находим спектр дайона в плоском пространстве-времени:
+.......lf^-—Г/2 • (4°)
'+-y-V —eMQ2 + /'2)
1/2 1
Для черной дыры асимптотики типа (38) являются лишь промежуточными и должны быть сшиты с волновыми решениями на горизонте событий (что физически отвечает возможности поглощения частиц черной дырой). Приведем вычисления для случая A=O и достаточно малых значений параметра eQ<Cl. При выполнении этих условий угловое уравнение (11) сводится к уравнению для спиновых сферических функций (Д.9) веса s = eP при этом собственные значения K= (1+еР +1) (/—еР) ==/'(/'+1), где введено (вообще говоря нецелое) число V для удобства дальнейших расчетов. Радиальные функции можно построить, сшивая решения, найденные в двух перекрывающихся областях изменения координаты г. В области г^>г+ радиальное уравнение по-прежнему сводится к (37), и мы получаем
l* = -Jr^.p(2|x|r), (41)
где параметры q и р теперь равны
q= [ (2со2—\l2)M—eQto] | х | (42)
p = l'+1/2. ' (43)
Можно ожидать, что если искажение спектра вследствие изменения эффективного потенциала вблизи черной дыры (в частности, мнимая часть энергии) невелико, то его можно учесть, вводя в условие квантования (39) малую добавку
1 + Г— q= — rir+v, v<l, (44)
которую будем искать путем сшивания решения (41) с решением в ближней области. Для построения такого решения перейдем в (12) к новой безразмерной переменной
x=(r-r+)(r+-r-)-' (45)
и сделаем подстановку
Я = х°(1+х)Рф(х). (46)
Рассмотрим область изменения радиальной координаты r<Cl/(o, которая при малых значениях ыМ простирается вплоть до больших г^>г+ и перекрывается с областью, в которой справедливо 238
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
решение (41). Выберем постоянные а и ? так, чтобы результирующее уравнение для qp имело бы три регулярные особые точки
X= —1, 0, с»:
a= ±ik+(r+2+a2) (г+—г_)-1;
(47)
$ = ±i[k+(r+2 + a2) (r+—r-)-i + eQ—(o(r++r-)].
Опуская члены, малые в рассматриваемой области изменения г„ получим для ф гипергеометрическое уравнение
х(х+1)ф"+[(2<х+1)+2(а-^+1)*]ф'+
(48)
+ [(a+?) (а+? + 1)—А,]ф=0
(здесь опущены также члены, малые при <»М<СІ, ц.М<С1). Пренебрегая величинами eQ и мг± по сравнению с Г, получим радиальную функцию в виде суммы двух линейно независимых решений:
х+1
+ C2X1T
C1X-^-1F(У+ 1, /'—2a+ 1; 21' + 2;--Lj +
-I', —/'—2а+1; —2/';--i-j
(49)
ч
где в качестве а выбрано нижнее значение из (47). При малых X (т. е. г->г+) это решение имеет вид суммы входящей й выходящей волн
R = (C1A1 + C2S1) <rV- + (C1A2 + C2S2) e'V*, (50>
где коэффициенты имеют вид
л Г (21' + 1) Г (—2«) . л __ Г (21' + 2) Г (2«)
1 Г (Г + 1 — 2а) Г (Г + 1) ' 2 Г (/' + 1) Г (Г + 1 + 2а) '
Г(-2ПГ(-2а) Г(-У)Г(2а)
1 Г (—Г — 2а) Г (—О Г (—1') Г (—Г + 2а)
При больших X (но малых шг) решение (49) сшивается с асимптотикой (38) функции (41). Действительно, в этой области (49) переходит в
R C1Xr-''-1 + C2X1'. (52)
Приравнивая эти асимптотики, находим коэффициенты
Г Ir г 2x1-" Г(2Г + 1)
1=' + |2Х| Td+l'-q)'
C2= (г+ г-)1' \ 2y.\l'+x v^lZll • <53> § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
239 ^
Теперь нетрудно убедиться в том, что условие квантования (44) Действительно обеспечивает выполнение требования отсутствия волны, выходящей из черной дыры
CH2+ C2B2=O, (54)
если добавка v в (44) равна
V = V1 + iv2 = [21XI (r+ -r_)]*'+' . Г(2Г + ^ + 2) х
X
J2-Itg(^r) ch(2jt|a|) + 1 sh(2it ta)]
Г(2Г + 1)Г(2Г + 2)
''O=
X П(1 + 12a18(A +Г)-2)-4. (55)
k=i
Эта величина, вообще говоря, комплексна, ее вещественная часть дает сдвиг уровней по сравнению с кулоновским спектром, а мнимая часть описывает затухание, обусловленное поглощением частиц черной дырой. Если V — целое число (что в рассматриваемом приближении будет иметь место при отсутствии монопольного заряда у черной дыры, либо электрического заряда у скалярной частицы), то вещественная часть vi, как видно из (55), •обращается в нуль, а выражение для мнимой части согласуется с полученным а [279—281].
