Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ы(±) e±ixr
Г-+ OO
Отметим, что на горизонтах событий частица ведет себя как безмассовая, масса не входит в асимптотические выражения (16). Напротив, в промежуточной области влияние массы существенно: при цфО потенциал (14) имеет локальный минимум, отвечающий возможности существования квазисвязанных состояний массивной частицы в окрестности черной дыры (рис. 16).
Рис. 16. Эффективный потенциал в радиальном уравнении для массивного скалярного поля в метрике Керра—Ньюмена— де Ситтера
В окрестности космологического горизонта событий (при условии r++~^>r+) поведение эффективного потенциала в случае (а = = е = 0) описывается формулой
4+
г2
(17)
При а=О одним из собственных значений является Я,=0; если при этом масса частицы удовлетворяет условию ц<У2г++-1, то правая часть (19.19) может стать отрицательной (в частности, это имеет место при ц = 0). Такое поведение характерно для минимально связанного скалярного поля. В случае конформной связи (4.6) величина Veff — со2 всюду неотрицательна [271] *>.
Суперрадиация и квантовое рождение частиц
В качестве двух линейно независимых решений радиального уравнения (13) целесообразно выбрать %(+), описывающее сходящуюся (поглощаемую черной дырой) волну при г ->•/+, Х(+> — e~ik+r* и %<++), описывающее волну, уходящую за космологический горизонт, х<++) etft++r* при /¦->/¦++. Будем считать, что радиус горизонта событий черной дыры г+ существенно меньше радиуса космологического горизонта г++. Тогда существует промежуточная область в которой потенциал
Veff близок К ПОСТОЯННОЙ X2 (17) и решение (при С0>|х) будет описываться промежуточными асимптотическими формулами (18).
*) Добавление в лангранжиан члена І/бЯЧІ?2 ведет к замене в (17) ц^цг+г/г++2. 230
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
х<+)
Выбирая нормировочные коэффициенты так, чтобы при Л-»-0 х(+) переходило в Xin. а %<++) — в yvup, введенные в § 4, получим решения, имеющие в указанных трех асимптотических областях следующий вид:
12A+1-'/2техр(—ik+r*), Г-+Г+, 12х I -'^2 [у ехр (ікг) + б ехр (— inr)\, ге®; |2A++|-1/2[exp(—ik++r') + а ехр (ik++r')[, г
е+е++12k+1 -1/2 [т-х ехр {ik+r") -(CTT-1)* ехр (—ik+r')\,
е+е++12x I-1/2 [a ехр (ікг) + ? ехр (—ікг)], гєй; ^^+l-^exp^+r'), г->л++; (18)
где введены знаковые функции e+=k+l\k+\ и e++ = k++/\k++\. Из условий постоянства вронскианов для линейно независимых пар решений W(f}++\ *<++>*); W(x<+>, х<+>*); W(у}++\ у}+)У, W(y}++\ х<+)*) находим соотношения
IYl2-ISI2=-е+|т|2, I a 12 |?|2 = є++, |т|2е+е+++ Ial2 = I,
об—?Y=l,a у*—?o^a*. (19)
Рассмотрим подробнее поведение решений (18) в промежуточной асимптотической области®. Соотношения (19) показывают, что в этой области существуют суперрадиантные потокикакот черной дыры, так и от космологического горизонта. Действительно, решение %<+) описывает волну, падающую из Ф на черную дыру и испытывающую отражение с коэффициентом |y/o|2, а решение %<++) — волну, падающую из Ф на космологический горизонт, и отражающуюся от него с коэффициентом |?/a|. При выполнении условия суперрадиации на горизонте черной дыры k+<0, как видно из (19), коэффициент отражения |у/6|2>1, т. е. происходит усиление волны. Аналогично при k++<0, как показывает соотношение (19), |?/a|2>l, т. е. происходит отражение волны от космологического горизонта с увеличенной амплитудой. С другой стороны, в области г~г++ существует суперрадиантный поток от черной дыры лишь в области частот
mQ++-f eV++<co<mQ+-f eV+. (20)
Это следует из соотношения (19), показывающего, что коэффициент отражения а становится большим единицы по модулю при условии е+є++<0, что (для рассматриваемого случая г++~^>г+) эквивалентно (20). Таким образом, с точки зрения наблюдателя, находящегося вблизи космологического горизонта, спектр суперрадиации черной дыры обрезается снизу. Физически это обусловлено тем, что наблюдатель, находящийся вблизи г++, должен вращаться вместе с горизонтом событий и отсчитывать потенциал от § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
231 ^
значения V++. Вводя дополнительные нормировочные множители т//2я и //2я в решения и iJj<++> соответственно, получим моды,
нормированные в смысле скалярного произведения (4) на «единицу»
«й-«-, ?^) = -^(^?', ^) = 8++0 (со-0/)0,,^' (21)
8+ +
(как обычно, скалярные произведения вычисляются с учетом лишь падающих волн в решениях (18) с последующим растяжением области интегрирования по «черепашьей» координате г* на бесконечный интервал, что соответствует представлению о широких волновых пакетах в областях Коши).
Если встать на «наивную» точку зрения, что положительно-частотные решения должны быть аналитическими функциями в нижней полуплоскости комплексифицированной временной координаты t, то из (19) будет следовать, что моды грй^ являются положительно-частотными при ?++>0, а моды if&ta"'—при ?+>0. Оператор вторично-квантованного поля в терминах разложения по таким модам будет иметь вид
J [6 (k+) (TpaA/m + A'Xlj +
Im —оо
+ Є (&++) (№тсЫт + d(0, • _ (22)
