Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
253
времени (предполагая спинорное поле заряженным и включая также электромагнитное поле) с помощью минимального кова-риантного обобщения действия в пространстве—времени Минков-ского
S = J 2 V^g d*x; 3 = і/2 (фун^ф—(?) у^) —цфф, (41) где символом
сл
Vn = Vii + 1'^ (42>
обозначена «удлиненная» ковариантная производная. Варьируя действие (42), получаем уравнение Дирака
('Y1W-HH = O, (43)
а также уравнение для сопряженного спинора
ЧУЙ^ + Й=0- (44>
Воспользовавшись определениями спиновых коэффициентов (1.56), представим входящие в (25) ковариантные производные от компонент матриц (7) в виде разложения по векторам изотропной тетрады, в результате находим следующее явное выражение коэффициентов спинорной связности:
г.-(J-J'.-("??). «5>
где введены векторы
On = YV-1ап»~PmJl'' bVL = Wn^-nnV S = xV-PmH- (46) Свертывая оператор удлиненной ковариантной производной с
сл
матрицами у, для у = YtiYli имеем
/О 0 A-y*+ll*+ieAn- (б*+р*—T*+t'Mm.)N
9-vT I 0 0 - (8+?-He/lm) D—p*+leAi
V -г * I B—p+ieAi Ь*+$*+іеАт* 0 0
\6+?—T+t'e^mA+fJ,—Y+t'e^n о 0
(47):
Интегралы движения
Из симметрии действия (41) относительно преобразования фазы гр-^-е'®!]) следует закон сохранения векторного тока:
Zili=O; Zi = ^ytV (48)
Явное выражение для вектора тока в терминах разложения по векторам изотропной тетрады таково: :254
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
+ \H\2) + n»(\F\2 + |G|2) —
— т»(ЕГ—вІГ)—т*» (EtF-GTH)]. (49)
В случае поля нулевой массы, действие (41) инвариантно также «относительно кирального поворота Tp-ve1'®?5^, что приводит к сохранению аксиального тока
Z15 = ^YtiY5Tp. (50)
При из уравнений (43), (44) находим следующее выраже-
ние для дивергенции аксиального тока:
= 2гц/5; J5 = {ру5тр. (51)
Как известно, при учете взаимодействия спинорного поля с электромагнитным и гравитационным в правой части (51) появляются квантовые поправки, выражающиеся через псевдоскалярные инварианты электромагнитного и гравитационного полей [293—297] (аксиальные аномалии). Существование аксиальных аномалий приводит к нетривиальным эффектам в рождении фермионов дай-онами (см. ниже).
Варьируя лагранжиан (42) по метрике, получаем выражение для тензора энергии-импульса
Tliv = i/2 (tYuiVvW — (V(H1P) Yv>xp), (52)
удовлетворяющего условию
Fn\J (53)
и имеющего след
T^ = VLtyтр. (54)
Нетрудно проверить, что для каждого векторного поля Киллинга можно построить сохраняющийся ток
Р^ГЧП + ЛЛ (55)
Приведем также явное выражение для тензора энергии-импульса в терминах разложения по векторам изотропной тетрады Tliv=
= ?(hv) + k.C.:
^v = J=- [(HtHtll-ЕЕ*,») К + (G-Gtli-FftV) Uvi +
+ (FtEfll — GH\) т» + (EtFtll + HG'tll) trC, + + (I ? 12— I # 12) (Vav + c'?mv) + (IGI2-IFI2) (/IllOv + ^mv) + § 20." МАССИВНОЕ ПОЛЕ CO СПИНОМ 1/2 .
255
+ (H*G + EF*) (тц (Ov + ?v) + / Jh- M11Cv)]-
-yf [(IH12 + IEI 2) /v -(IF12 + IGæ) nv + 2 (EF'-H-G) mv]. (56).
Для разделения переменных в уравнении Дирака (43) необходимо построить набор матричных операторов, коммутирующих с оператором (47). Покажем, что в число таких операторов можно включить спинорные производные Ли (33) вдоль векторных полей Киллинга. Заметим предварительно, что если — вектор Киллинга, то из (38) следует
Jzfgyfx = 0. (57),
Рассмотрим теперь коммутатор [2%, у„] на множестве дираковских спиноров. Учитывая уравнения Киллинга и ковариантное постоянство матриц yt1, находим
[^6. vj = ^v [Vv, V11] + 1/2 Swlfcli. (58)
Коммутатор двух спинорных ковариантных производных применительно к дираковским спинорам выражается через тензор Римана в виде
[V*. Vvl= !/ZZWoep- (59>
Далее, используя уравнения Киллинга для можно показать
ta-.fr» <Ja*= Rll^afi (60)
Подставляя (59) и (60) в (58), нетрудно убедиться что рассматриваемый коммутатор равен нулю. В результате для удлиненной' спинорной ковариантной производной, свернутой с матрицей Дирака, получаем следующий коммутатор с производной Ли вдоль векторного поля Киллинга:
W1, Y11V11] = ^JMv (61>
который обращается в нуль, если электромагнитное поле постоянно в смысле переноса Ли вдоль поля Киллинга (что имеет место в нашем случае согласно (1.11)). Итак в нашем распоряжении имеются два оператора, коммутирующих с оператором Дирака и имеющих, следовательно, общие с ним собственные функции. Третий недостающий оператор можно построить, если пространство-время допускает тензорное поле Яно—Киллинга (1.31). С помощью антисимметричного тензора можно построить матричный оператор первого порядка по удлиненной ковариантной производной:
K=Z11YY11Vv.
(62). 256
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
жоммутатор которого с оператором Дирака (47) равен
YtlVnl = Ztwa Y8YvYx, Vn- (6S)
,Добавляя к оператору (62) член без производной так, чтобы его коммутатор с оператором Дирака скомпенсировал выражение (63), и выбирая общий коэффициент из условия самосопряженности, получаем следующий оператор, коммутирующий с (47):
