Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
®шах
-t(1)—irS J С). <»>
Im ц
где сотах = + еV+- Соответствующее выражение для потери электрического заряда имеет вид 234
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
штах <°тах
¦f= --5ГS(:f l^- j I-I2d-). (30)
Im H ц
ГДЄ <0max = ffl?2+±|e| V+, Ti — ЗНЭЧеНИЯ коэффициента ПрОХОЖ-
дения при в = ±|е|. Величина т существенно зависит от орбитального момента I, она становится экспоненциально малой при больших /. Если дыра обладает магнитным зарядом, то 1>-\еР\, следовательно, при \еР\^>\ испускание заряженных частиц будет подавлено. Излучая нейтральные частицы, черная дыра будет терять массу и момент вращения, пока не перейдет в состояние экстремальной дыры Рейсснера—Нордстрема с M2=Q2 + P2 [242], в котором ее поверхностная гравитация (температура) равна нулю.
Квазистационарные состояния
Характерной особенностью радиального эффективного потенциала (14) является наличие минимума (рис. 16), отвечающего области локализации классических финитных орбит. Соответствующие состояния, в отличие от состояний заряда в кулоновом поле, не будут стационарными, так как центробежный потенциал вблизи горизонта начинает спадать и область возможной локализации состояний финитного движения оказывается отделенной от черной дыры лишь потенциальным барьером. В квантовой теории возможно тунеллирование частицы через потенциальный барьер с последующим поглощением ее черной дырой, вследствие чего могут существовать лишь квазистационарные состояния, распадающиеся за конечное время. Существует строгое доказательство [276] отсутствия дискретного спектра у оператора Клейна—Гордона в пространстве-времени Шварцшильда. Действительно, квазистационарные состояния уже не принадлежат дискретному спектру, а являются состояниями рассеяния. Однако для волнового пакета, локализованного внутри потенциальной ямы и построенного из состояний квазидискретного спектра, время жизни может оказаться достаточно большим, чтобы имело смысл говорить о квазистационарных состояниях. Для этого достаточно, чтобы мнимая часть энергии, пропорциональная обратному времени распада, была мала по сравнению с вещественной частью (иначе говоря, волновой пакет должен совершить много оборотов вокруг черной дыры прежде, чем будет захвачен ею). Мы увидим ниже,' что это действительно имеет место при выполнении условия IxM<^m2PL (для шварцшильдовой черной дыры), где mpL~ 10 г-5 — планковская масса.
Нетрудно оценить параметры квазистационарных состояний исходя из квазиклассических соображений. Боровский радиус для частицы ц в ньютоновском поле тяжелого тела массы M равен (для наглядности в нижеследующих формулах явно выписаны § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
235 ^
постоянная Планка H и гравитационная постоянная G)
= (31)
GMp.3 ]хМ v
где ^ с = А/^хс — комптоновская длина волны частицы. С увеличением M радиус гв уменьшается, в то время как радиус горизонта Tg = IGM. растет. Равенство ге = гв наступает при M=m2PLl^2\i, что отвечает для ц, равному массе электрона, .M-IO17 г. Отношение
mPL 2
) (32)
ig 4 \ іхМ
заведомо велико в случае ^M<^m2pL, т. е. микроскопических черных дыр.
В случае если отношение (32) меньше единицы, то могут существовать лишь возбужденные круговые орбиты, радиусы которых пропорциональны квадрату целого числа п, гп~гвп2; нетрудно видеть, что п должно удовлетворять условию n>V2(pJH) / ITl2PL-При.цМ>-1 такие состояния квазиклассичны (их затухание рассматривалось в [277, 278]). Ниже мы ограничимся случаем микроскопических черных дыр, pJW<Cl, для которого вычисления удается проделать аналитически. Как и выше, будем предполагать, что г++^>г+, причем волновая функция в промежуточной асимптотически плоской области SD успевает затухнуть настолько, что ее последующее сшивание вблизи космологического горизонта можно не проводить (соответствующая оценка будет сделана ниже).
При сделанных предположениях радиальная функция (ненормированная) в области частот квазисвязанных состояний должна иметь в асимптотических областях следующий вид:
_ J Aeik+"+Be~ik+r\ г-*г+,
( ехр(-|х|г), г»г+, (33)
где А и В — некоторые постоянные, |%| = (р,2—и2)'/2. Радиальная функция (33) описывает отражение волны, падающей на потенциальный барьер (рис. 16) слева. Поскольку в области г^>г+ волновая функция предполагается экспоненциально убывающей (возможностью тунеллирования на космологический горизонт пока пренебрегаем) и соответствующий поток вероятности равен нулю, коэффициент отражения по модулю равен единице, т. е. |Л| = |?|, однако при рассеянии возникает изменение фазы б, В = Ае~2і6, по величине которого и можно судить о существовании квазистационарных состояний. Из общей теории резонансного рассеяния следует, что фаза б в окрестности резонансных частот Co = Con испы- 236
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
тывает резкое изменение на я, что можно записать в виде соотношения
б = б(0> + arctg -—^—, (34)
(CO-COn)
где уп — ширина квазистационарного уровня, предполагаемая малой по сравнению с соп, 8(0) — плавно изменяющаяся в окрестности OJ = COn функция. Если же рассматривать коэффициенты А и В в (33) как функции комплексной частоты со = со'—fco", то коэффициент Л будет обращаться в нуль в точке со=сол—iyn. Поэтому для нахождения комплексных значений энергии квазистационарных состояний достаточно построить решение вида (33) и затем потребовать выполнения условия
