Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вещественная часть уравнения (44) приводит к водородо-подобному спектру; пренебрегая релятивистскими поправками, получаем
J--(MAf-n = l, L (56
2 л2
(0„
В этом приближении вращение черной дыры не оказывает влияния на положение уровней энергии (поправки тонкой и сверхтонкой структуры рассматривались в [280], поправки, обусловленные сдвигом уровней в поле монополя легко учесть с помощью (55)). Космологические поправки также можно учесть приближенно. В принципе, при наличии космологического горизонта возникает второй канал распада квазистационарных состояний путем тунеллирования за космологический горизонт. Оценим этот эффект исходя из квазиклассических соображений. Поскольку в интересующем нас случае, когда область локализации квазисвязанных состояний далека от космологического горизонта, эффективный потенциал (14) в широкой области постоянен Uetf~ ~(ц2—to2), то тунеллированием можно пренебречь до тех пор, пока интеграл 240
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
J (ц2_(02)1/2 dr*y (57)
*
rI
где г\ — правая точка поворота, не будет порядка единицы. Это условие определяет максимальное значение главного квантового числа «щах, выше которого становится существенным космологическое тунеллирование Птах~Ц'"++(|іЛІ—eQ).
С физической точки зрения представляет интерес обсудить возможность эффекта суперрадиации на квазисвязанных уровнях. Рассмотрим для простоты случай целых V (еР=0). Введем декремент затухания уровней как мнимую часть комплексной частоты:
CO=COn—iy, (58)
тогда, сопоставляя с формулой (44), найдем
Y= »W ~eQ)2 v2. (59)
Tls
Из (55) видно, что при ?+<0, т. е. при выполнении условия суперрадиации, величина у становится отрицательной, что соответствует возбуждению уровней энергии. Нетрудно убедиться в том,, что множество состояний квазидискретного спектра действительно включает суперрадиантные моды (при аф0). Наибольший интерес представляет серия р-состояний с 1=1, пг=0, 1, .... С ростом радиального квантового числа пг величина v быстро убывает, поэтому ограничимся низшим состоянием Hr=0. Мнимая часть энергии уровня CO = COn—iyn равна (/=1; пг = 0; т= ±1) с точностью до малых поправок
Y=--~ т^цИГ. (60)
Состояние с т=1 испытывает отрицательное затухание, т. е. является неустойчивым. Подставляя в качестве ц массу л-мезона, для черной дыры массы ІИ — 0,1 т2рЦц~ IO14 г при а^М получим оценку инкремента нарастания |у|~10п (1 Jc). Для микроскопических черных дыр р,ІИ<с1 потеря момента при развитии суперрадиационной неустойчивости происходит значительно быстрее, чем потеря массы (так как каждая частица уносит относительную долю углового момента (аМ)-1 и относительную массу отношение скорости убывания момента / к скорости убывания массы M имеет порядок
JjMco-J-). (61)
а іхМ )
Суперрадиационная неустойчивость существует и для квазисвязанных состояний (с большим I) вокруг черных дыр, гравита- § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
ционный радиус которых превышает боровский радиус (pJW;>l). Такие состояния можно описывать квазиклассически [277, 278].
Заметим, что уширение уровней вследствие возможности тунел-лирования в черную дыру не приводит к их перекрытию; как видно из сопоставления формул (58) и (59), расстояние между соседними уровнями превышает у при всех п.
Существенным отличием суперрадиации на квазисвязанных уровнях от «обычной» суперрадиации, при которой частицы уходят на бесконечность, является экспоненциальный характер развития неустойчивости, число частиц на квазистационарных уровнях растет как ехр(|у|/)- Процесс заполнения уровней является ступенчатым. Сначала заполняется уровень п = 2, 1=1, т= 1 до тех пор, пока уменьшение момента дыры не выводит это состояние из режима суперрадиации (так как вероятность тунеллиро-вания на этот уровень максимальна). Затем начинает заполняться уровень с 1 = 2, т=2, который еще является суперрадиантным, одновременно происходит обратное тунеллирование частиц из состояния 1=1, т = \ в черную дыру, тем самым потеря массы частично компенсируется. Последовательное возбуждение супер-радиантных уровней сопровождается монотонным убыванием вращательного момента дыры, в то время как ее масса практически остается неизменной. Разумеется, такая картина лишь качественно описывает динамику развития суперрадиационной неустойчивости на квазисвязанных уровнях. Поскольку с ростом квантового числа п эффективное время |у|-1 процесса быстро растет, для высоколежащих уровней доминирующим будет хокинговский механизм испарения.
Для невращающихся дыр суперрадиационная неустойчивость на квазисвязанных состояниях (в том числе и при учете электрического заряда дыры) не возникает. Хотя для-заряженных частиц в поле черной дыры, обладающей электрическим зарядом, и существует эффективная эргосфера, нет квазистационарных состояний, параметры которых соответствовали бы условию суперрадиации fe+cO. Тепловой механизм заполнения квазистационарных состояний приводит к равновесному (с температурой черной дыры) распределению частиц по уровням [282, 283].
