Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
-w =
CO2—ц2, г*
-оо.
(со—HiQjr—eV+)2s3!p2, г*-»—оо,
(69)
¦•где ?+=A0++Q+A4,+
электростатический потенциал горизонта,
который в силу теоремы Картера не зависит от 0.
Поскольку в асимптотических областях г*-»-±оо функция W не зависит от 0, в них можно разделить переменные, выбрав в качестве функций сфероидальные функции Sfa (O). Состояния с «фиксированными /, т на горизонте будут переходить в суперпозицию состояний с различными /, но с тем же значением т на ^бесконечности. Аналогично состояния с заданными / и т на бесконечности будут соответствовать набору состояний с различными / и тем же т на горизонте, поэтому в качестве базисных решений уравнения (68) можно выбрать решения с асимптотиками
,/am {Г, 0) =
flPm(r, 6) =
(41CO2 — Ц2 I )-'/< SZ ( 6) (е-? + ст}V г),
г'+оо,
¦оо;
(41CO2-P21)-'/< V1 даг(6) е<г'^оо,
г
12PI -1/? (в) (e*"' + a?e~ipr'), г* >¦ — оо.
(70)
(71)
Выбранные таким образом моды являются точными решениями уравнения (68) и в области промежуточных г не выражаются в факторизованном виде. Нормировка в (70) и (71) выбрана так, чтобы скалярные произведения (4), построенные из «падающих» .волн, имели вид
(CVm-, А) = (2л;)2б (со-со') Ьп-Ьп
M>SW, A) = (2я)26 (со—со') Ьц'Ьп
ICO3 — JLL21 1/2
Ip!
(72)
(73)
Для вычисления потока суперрадиации на бесконечности необходимо найти соотношения, связывающие коэффициенты прохожде-лия и отражения в (70), (71). С этой целью воспользуемся постоянством «интегрального вронскиана» § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
245 ^
d
дг*
л
W(^f2) = O; W = sinodo (74)
для любой пары /1 и f2 решений уравнения (68) (для доказательства достаточно, воспользовавшись этим уравнением, проинтегрировать по частям по переменной в). Поскольку уравнение (68) вещественно, то наряду с (70) и (71) его решениями будут комплексно сопряженные функции. Приравнивая асимптотические значения fln* ); и XPtfta, рч>), найдем
ЕірГ |т'"|2==1-іа'ІП|2' (75)
г
= (76)
IpI
Стандартное вычисление потоков приводит к формуле для скорости потери массы и углового момента дыры вследствие спонтанной суперрадиации
шшах
Ит)—srS W^S'*'1- <77>
I. т 0
Порог суперрадиации определяется обращением в нуль величины р и равен
CDmax = mQ+ +et?+. (78)
Таким образом, вывод об изменении граничной частоты суперрадиации для заряженных частиц во внешнем электромагнитном лоле сохраняется и для общего случая аксиально-симметричного (спадающего на бесконечности) поля. Величина 9+, входящая в (78), представляет собой разность электростатических потенциалов горизонта событий и бесконечно удаленной точки, создаваемую внешним электромагнитным полем.
Аналогичным образом можно рассчитать квантовое испарение во внешнем электромагнитном поле; отличие от известного результата сводится к дополнительному суммированию по второму •орбитальному числу
d (М\_ J-Cdto у —J^!!--р/сох {79)
2я J ехо - 1 M \т
М. /,Г,т P ^ J
dt I J 2л
Таким образом, влияние внешнего поля состоит в изменении граничной частоты суперрадиации, а также коэффициента прохождения через потенциальный барьер. 246
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
Если внешнее поле допускает существование квазисвязанных состояний в окрестности черной дыры, то возможно суперрадиационное возбуждение некоторых из этих состояний. Так, в случае однородного магнитного поля, удовлетворяющего условию |e?|r02<Cl, где г0 — положение минимума потенциальной ямы,, получим решение вида (42), в котором нужно положить г++ =
сл
= 0, Q =—2аМВ; = Сшивание этого решения с решениями вблизи горизонта событий, проводимое описанным выше способом, приводит снова к формулам (58), (59) для комплексной частоты, где следует сделать ту же замену. В (56) необходимо также заменить к+ на к+. Условием экспоненциального роста числа частиц на квазистационарном уровне а>п в состоянии с квантовыми числами I, т является отрицательность у„, что сводится к условию
Wn-mQ+ + eaB<.0. (80)
При B = 0 направление «вращения» частиц на неустойчивом уровне совпадает с направлением вращения дыры, то же самое происходит и в магнитном поле для частиц положительного заряда. Порог возбуждения для античастиц (е<0) ниже, в результате должен возникать азимутальный ток электрического заряда, направление которого противоположно направлению вращения дыры. Этот ток порождает вторичное магнитное поле, которое частично компенсирует действие внешнего поля В. С другой стороны, черная дыра поглощает преимущественное число частиц с е>0 и заряжается до тех пор, пока заряд Q дыры не станет равным 2аМВ, после чего суперрадиация становится симметричной по знаку заряда рождаемых частиц.
Рассмотрим теперь заряженное скалярное поле около черной дыры Керра—Ньюмена, погруженной в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси симметрии, учитывая влияние внешнего поля на метрику пространства-времени. Как отмечалось в § 2, эргосфера соответствующего пространства-времени не исчезает даже при а=0. Именно значение функции со' (2.37) на горизонте событий, имеющее смысл угловой скорости увлечения инер-циальных систем отсчета (с точностью до членов, линейных по В), равно
