Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
QV = Q+--— (81)'
+ + (Г2_ + о»)
(при а = 0 совпадает с первым слагаемым в (2.54)). Для функции fam(r, 0), определяемой СООТНОШЄНИЄМ (16.67), СНОВЭ буДЄМ ИМеТЬ уравнение (68) с некоторой новой функцией ш'(г, 0). При г-*-г+ эта функция стремится к постоянной, не зависящей от 0
—w' (r+) = (со— mQ+—eF+)2, § 20." МАССИВНОЕ ПОЛЕ CO СПИНОМ 1/2 .
247
где электростатический потенциал горизонта равен
V'+ = A'0 (r+) + 0;л; (г+), (83)
А'о и Л,' — компоненты вектор-потенциала, генерирующего магнитное поле. Порог суперрадиации теперь определяется обращением в нуль величины (82); интересно, что граничная частота не обращается в нуль даже при а = 0 и е = 0, так как параметр Q+ согласно (81) остается отличным от нуля. При больших г функция w'(r, 6) растет (в том числе и для е = 0), это означает, что частицы не могут уходить на бесконечность. Поэтому суперрадиационная неустойчивость должна приводить к экспоненциальному росту для всех бозонных мод, лежащих ниже порога <о < mQ'+ + + eV'+.
§ 20. МАССИВНОЕ ПОЛЕ СО СПИНОМ 1/2
Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени было записано Фоком и Иваненко еще в 1929 г. [285]. Оно основано на понятии параллельного переноса спиноров с помощью введения спинорной связности в римановом пространстве. Большинство последующих работ основывалось на теории спиноров с характерной двухкомпонентной формой записи уравнений. Это, однако, не обязательно, вся теория может быть сформулирована в четырехкомпонентной форме, более привычной в теории поля в пространстве Минковского. В случае вырожденных метрик по Петрову значительные преимущества дает использование зависящих от координат дираковских матриц, связанных с изотропной тетрадой Ньюмена—Пенроуза. Для метрик типа D оказывается возможным полное разделение переменных в уравнении Дирака как для безмассового, так и для массивного полей. Разделение переменных в уравнении безмассового поля со спином 1/2 в метрике Шварцшильда было проведено в работе Брилла и Уилера [286], этот результат затем был обобщен на метрику Керра Унру [287—288] и Тьюкольским {9]. Чандрасекар [289] решил эту задачу для массивного поля в метрике Керра, затем Пейджем было сделано то же для метрики Керра—Ньюмена [240] (см. также [290, 291]). Обобщение на класс метрик типа D было проведено Гювеном [292]; рассматривался также случай отличной от нуля космологической постоянной [272]. Ниже строится наиболее общий вариант теории Дирака в поле черной дыры, обладающей электрическим и магнитным зарядами и моментом вращения при отличной от нуля космологической постоянной, к которому сводится также случай черной дыры типа By—Янга с неабелевыми векторными полями.
Уравнение Дирака в формализме Ньюмена—Пенроуза
Для построения дираковских матриц в искривленном пространстве-времени, с помощью которых «извлекается корень» из 48
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
оператора Клейна—Гордона, удобно предварительно ввести тетраду е^а, посредством которой метрика локального пространства Tjab, не зависящая от координат, связана с метрикой пространства-времени g^ix),
ё»»еае1=%Ъ> Wab=^v. (!)
Метрика г\аь не обязательно является метрикой Минковскою, достаточно, чтобы ее компоненты были постоянными. В формализме-Ньюмена—Пенроуза
= пУ\ тУ\ т*»},
(индексы а, b пробегают значения 1, 2, 3, 4 для п^, и т*" соответственно). В этом случае отличными от нуля компонентами: Ilab будут
1112 = 1121 =-1134=-1143= 1 ; ЦаЬ = Г\аЬ. (3)
Далее строим набор не зависящих от координат матриц Дирака,, «расщепляющих» метрику х\аЬ,
сл сл
Y<° Y6) = Tf6, (4>
выбирая следующее явное представление:
/0000\ /0 0 1 0\ / 0 0 01 ? «» / о о о о \ Y1 = K2 I 1 ООО/; Y2 = K 2 0000 ; VOOOO/ \0 100/
/00 00ч /000—к
,-/00 — ю\ - / 0 0 0 0\ «V
Y3 = K2OO OO-Y4 = K2OlO 0- (5>
\1 0 00/ \ооо о/
СЛ
Отметим, что матрицы Ya ПРИ эрмитовом сопряжении переходят друг в друга согласно соотношениям
СЛ СЛ СЛ СП
Y1+= Y2; Y3+ = -Y4. (6)
Введем теперь зависящее от координат матрицы Дирака
/0 0 п» г- 0 0 —т» I» \ /7v
Yli = ^Ya = K2I I» т*» 0 0' (/у
\тУп» 0 0 / удовлетворяющие соотношениям антикоммутации
1/2 (^tiYv + ГГ) = Y(tlYv) = ^v- (8> § 20." МАССИВНОЕ ПОЛЕ co СПИНОМ 1/2 .
249
В таком представлении они не эрмитовы и при эрмитовом сопряжении переходят в
(л
Yti+ = eiy2 + ^Y1—eh3—Є4'Y4- (9)
Построим постоянную эрмитову матрицу а, чтобы выполнялось -соотношение
GCYti = Y^+а, (10)
сл сл сл сл
для чего необходимо потребовать ayi = Y2a и ауз=—Y^. а2=/. Этим условиям удовлетворяет матрица
/OOlOx
HVoVo) С»
Vo loo/
Рассмотрим 4-компонентный спинор
(12)
состоящий из непунктирного спинора срА и пунктирного спинора yi. Определим дираково сопряжение с покгощью матрицы а.'
Ф = Г«=(х+. Ф+) = (G*, H*, E*, F*), РЗ)
при этом билинейная форма Tpiip2 эрмитова и, кроме того,
(Ф1УФ2)*=Wxpi- (14)
Введем матрицу С зарядового сопряжения исходя из требования Cyv= —YtirC1 которому удовлетворяет
/ 010 0ч
с = I-OOO-?)- ' <15>
