Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
V OOi о/
Зарядово сопряженный спинор Tpc=Стрг имеет вид
(16)
При условии Tjjc=Ij) спинор описывает истинно нейтральное фер- 250
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
мионное поле (майорановский спинор), в этом случае E = H*; F= —G*.
Помимо матриц YtS обладающих одним векторным индексом (и представляющих собой объект, преобразующийся как вектор в касательном расслоении, и как тензорное произведение т|з<8)гр в спинорном расслоении), целесообразно ввести псевдоскалярную матрицу
/—1 0 0 0\
Y5=-^r ^vuyVYV= «-jog (ІТ>
V о OOi/
(последнее равенство очевидно при учете соотношений
= (18)
где E^u = Y—g envє0123 — 1), а также тензорную комбинацию
Otiv = 1/2 YftiYvl • (19)
При этом имеют место следующие соотношения дуальности:
1/2^0^=-^0,,; (20)
E^xr YtiYV = GiY5Yt- (21)
Собственные значения оператора у5 (киральности) равны ±1, соответствующие правые и левые спиноры таковы:
% = (J); (J); Y5^= -Ф*; Y6^=^- (22>
Все предшествовавшее относилось к фиксированной пространственно-временной точке. Теперь необходимо ввести представление о параллельном переносе спиноров. Вводимая спинорная связность должна быть согласована со связностью в векторном расслоении таким образом, чтобы образованные из компонент спиноров объекты, обладающие нулевой спинорной валентностью и ненулевой тензорной валентностью, преобразовывались бы с помощью обычных символов Кристоффеля. Этому требованию удовлетворяют коэффициенты Фока-Иваненко [285], задающие спи-норную ковариантную производную
V1^ = (23)
Коэффициенты Г„ выражаются через ковариантные производные от векторов тетрады в виде
Vll= 1/4 YVYv
(24) § 20." МАССИВНОЕ ПОЛЕ CO СПИНОМ 1/2 .
251
(в последней форме записи под yv;tl понимается
Y^Y^ + rW"; (25)
эту производную следует отличать от истинной ковариантной производной у-матриц (как спин-тензоров), которая будет определена ниже). Нетрудно проверить, что введенная выше матрица дираковского сопряжения а удовлетворяет соотношению
Г+а + аГц = 0, (26)
в силу которого ковариантная производная от сопряженного спинора емєєт вид
V^ = ^ + ^. (27)
Ковариантные производные от спинорных величин более высокой валентности вводятся на основании правила почленного дифференцирования тензорных произведений
V^i <8> ?2 = (V^i) +<g> V1^2- (28)
Ковариантное дифференцирование спин-тензоров, обладающих тензорной валентностью, дополнительно включает афинную связность, например
= dtf -I^v + . (29)
В частности, для самих дираковских матриц Yti полная ковариантная производная должна иметь вид
VvYti = Ytilv -rVYti + YtiFv, (30)
как для векторов в тензорном расслоении и объектов типа в спинорном расслоении. Подставляя сюда (25) и (24), нетрудно убедиться, что
VvYti = O, (31)
чего и следовало ожидать для связности, согласованной с метрикой, учитывая соотношение (18). В дальнейшем символом Vli будет всегда обозначаться полная ковариантная производная от спин-тензоров произвольной валентности, включающая как афинную, так и спинорную связности. При этом ковариантное дифференцирование произведений объектов различной тензорной и спи-норной валентности должно производиться почленно. В соотношении
Vv (W^) = (Vvi) Y11 ^ + І (VvYti) Ф + ^Yti (Vvt) = Ov 4- Г& (фуЧ)
(32)
под (Vv^) следует понимать (27), под —(23) и под VvYti — (30), в 252
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
результирующем выражении спинорные связности сокращаются, и мы получаем, как и следовало ожидать, ковариантную производную от вектора.
Аналогичным образом можно ввести производную Ли от спиноров вдоль векторного поля Киллинга согласованную с векторной производной Ли [288]. Производная Ли от 4-компонент-ного спинора Skty вдоль векторного поля № и превращает его в спинор той же валентности
Xkty = 1/2 a^k^ty-, (33)
при этом для сопряженного спинора будем иметь
Xkty = + (34)
Производные Ли от величин более высокой валентности в спи-норном пространстве получаются из предположения о почленном дифференцировании тензорных произведений
Xk ® ?,) = (XА) ® ^2" + ® XA, (35)
а при наличии дополнительных тензорных индексов необходима ввести члены, входящие в производные Ли от соответствующих тензоров. В результате для матриц у будем иметь
Xkf = —V + AvVvYti — 1 /2 [Oap, YtiI k^, (36)
что с учетом коммутационного соотношения
1/2 [a«?, YtiI = ^tilpYal (37)
дает
Xkf = -1/2 Yv + К») = 0. (38)
Аналогично для матриц Дирака с нижним индексом получим
= 1 /2 Yv ОK-. V + A v.n) = 0. (39)
Нетрудно убедиться в том, что величина (чру11'1!5) дифференцируется по Ли как вектор
Xk(tyy»ty) = (Xk^y^ + tyiXk^ty(Xkty) =
= AvVv (W)—(W>) Ati; V-, (40)
при этом спинорные члены, пропорциональные матрицам_оаР, сокращаются. Аналогично можно показать, что величина (•фуи'Ф) дифференцируется как 1-форма, (TjwtivIj)) — как тензор второго ранга и т. д.
После этой предварительной подготовки мы можем записать действие для дираковского поля в искривленном пространстве- § 20." МАССИВНОЕ ПОЛЕ CO СПИНОМ 1/2 .
