Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим калибровочное поле A11, ассоциируемое с локальной изотопической группой симметрии SU (2). В этом случае генераторами, нормированными условием
Sp(TaTb) = 1I2 баЬ. (20)
являются матрицы Паули с множителем '/2, Ta=т°/2; а структурные константы совпадают с компонентами трехмерного тензора Леви — Чивита Саьс = гаЬс, (е123=1). Соответствующий тензор напряженностей имеет компоненты
П* = К,»—АЪ-ег*'А1А5. (21)
Введем далее изовекторный триплет полей Хиггса
ф = ф°т°/2,
(22) 220
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
при этом ковариантная производная (7) будет действовать на компоненты Фа согласно равенству
Di^a = VllCba- егаЬсА \Фе. (23)
Запишем действие для системы полей Aall, Ф° в гравитационном поле, локально-инвариантное относительно калибровочной группы SU (2) и приводящее к спонтанному нарушению симметрии по механизму Хиггса
S =
_д--L д--- FavkvFaw +
2 2 ^
+ g^v ФрФ0) (DvOa)—2АУ j d'x, (24)
где эффективный потенциал
У=Чі(ФьФь — V2)2, y2 = const>0, (25)
имеет минимум при отличном от нуля значении квадрата изовек-тора Фь
фьфь = и2 (26)
При выборе потенциала в виде (25) значение Vo в точке минимума (26) равно нулю, выбор ненулевого значения Vo эквивалентен введению космологической постоянной А, которая также включена в действие (24) в качестве независимого параметра.
Варьирование действия (24) приводит к уравнениям для полей Aall и Фа
DvFallv = ееаЬсФьО*Фс, DllEfOa = X (У2 _фьфь) ф« (27). и к уравнениям Эйнштейна
Ag»*= SnTliv (28),
с источником
T»v=і!г! n^x+{°»фа) (д,ф0)+Ці k^ -
--^ (DaO)0) (DaO)0)+ Ayjj. (29)
Для построения интересующего нас решения этой системы можно воспользоваться калибровочной симметрией. Если выбрать калибровку, в которой
ф°=уб03; Al = Afiab, у= const, (30)
то, как легко видеть из формул (21), (23), (27) нелинейные члены в выражении для Fvi4 и в уравнениях для полей Aall и Ф° исче- § 18. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
221
зают, причем уравнение для поля Хиггса удовлетворяется тривиально (O0 = Const). Одновременно исчезает вклад поля Хиггса в источник гравитационного поля (29), который становится совпадающим с тензором энергии-импульса электромагнитного поля, порождаемого тем же потенциалом A11. В результате система сводится к системе уравнений Эйнштейна — Максвелла (вообще говоря, с космологической постоянной), для которой интересующее нас дайонное решение известно как решение Керра — Ньюмена — де Ситтера. Соответствующая метрика была найдена Картером [21]; более общий случай рассматривался Фроловым [268]
ds2 = А. (dt—а sin2 Є гіф)2—-sin2 6 [а dt — (г2 + а2) dy]2—
--— dr2--— de2, (31)
Д г Де
где
Ar= ^l —Yr2) (r2 + a2)—2Mr + Q2 + P2
A0 = 1 + — a2 cos2 6; / = 1 —а", (32)
3 3
а 4-потенциал (при выборе струны вдоль отрицательной полярной полуоси) имеет вид
Aiidx» = ± ^r-Pacos^ (^_asin26dtp) + P(cos6 —1). (33)
Здесь М, а и Q — свободные параметры, играющие роль массы, параметра вращения и электрического заряда черной дыры (последний с точностью до множителя I, см. ниже), а P — магнитный заряд, связь которого с калибровочной константой е будет определена ниже.
В отличие от решения By — Янга (или Полякова — т'Хоофта) потенциал (33) имеет особенность типа дираковской струны. В этом решении, однако, изовектор Ф° направлен не вдоль оси z в изотопическом пространстве, а вдоль вектора па, параллельного радиус-вектору в координатном пространстве
я0= (sin9cosф, sin 9 sinф, cos 9), (34)
где 9, ф — углы сферической системы координат. Можно ожидать, что, совершая локальный изотонический поворот в каждой пространственной точке таким образом, чтобы совместить ось Z с направлением (34) в изотоническом пространстве, мы сможем избавиться одновременно и от дираковской струны [267]. 222
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
Искомое преобразование, удовлетворяющее требованию
U(в, ф)т3(/+(6, ф) =т°я°(0, ф), (35)
имеет следующий вид
-?-?^ / cos0/2 — sin
_ -Ttp-T0 Ttp f cos6Z2 — sin6/2e-»P\ U = e е е = Vsin6/2e''<p cos6/2 J'
(36)
Отметим полезные соотношения
і MLu+ = — (xs—Tana), dtp 2
іЖи+ = -~{xaeaJ, (37)
oe 2 V f' V •
где Єча = (— sin ф, СОЭф, 0).
Воспользуемся теперь формулой (10) преобразования калибровочного поля, подставляя в правую часть A11=A11X3 с компонентами из (33). Выражение для 1-формы преобразованного поля с учетом соотношений (37) примет вид:
.« , ,, xа (Qr — Pa cos 9) ... ¦ га а \ ^na 1 м ,
A11 dx»-= —-(dt— a sin2 6 dm)----^dO +
Д 2 /2 2 е 2
+
P / о 14 , 1 \
— (cos 6 — 1)Н--
/ е
dy. (38)
«Подозрительным» на наличие особенности вдоль полярной оси является последнее слагаемое в правой части (38). Для его преобразования применим легко проверяемое соотношение
ХаПа (COS 0 — 1) =T3 — ХаПа sin 0Та??еа> (39)
где еаь= (cos 0COS ф, COS 0 sin ф, —sin0).
Нетрудно видеть, что, полагая выполненным условие квантования
"Т" = —• (4°)
/ е
можно привести последнее слагаемое к виду
