Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
— sin6-гіф,
/ 2
откуда следует, что AllAli не будет иметь особенности вдоль полярной оси, т. е. дираковская струна в новой калибровке действительно исчезает. В случае плоского пространства-времени (M = = CL = Q = P=0), переходя к декартовым пространственным координатам, найдем§ 18. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
223
Фa = nav; AaO=QZrna; Aai = —P/rzabinb, (41)
что соответствует дайону с электрическим зарядом Q и магнитным зарядом Р. Соответствующие (41) сферические компоненты трехмерной части потенциала имеют вид
Pea Pea
Aar = O; AaO=--SL; Aatf =—(42)
г г
Может показаться, что при отличных от нуля Л и а требование (40) противоречит условию квантования Дирака (4). Однако при 1ф\ физическим значением магнитного заряда является не Р, а P//, в чем можно убедиться, вычислив поток магнитного поля через сферическую поверхность в калибровке ^4^=^4^6°3
ф Zr9tp d6 Л dtp = — 4л -у-. (43)
T=COnst
Аналогично физический электрический заряд есть Q/I, так как
ф JF^pde = . (44)
r=const
Метрика Керра — Ньюмена — де Ситтера
Рассматриваемое поле принадлежит к заряженному типу 3!) по Петрову. Выбирая векторы Iv- и я" изотропной тетрады Ньюмена — Пенроуза вдоль главных изотропных направлений, будем иметь
= ( г2 + °2 /, 1, О,—У, п» = — (I(r2+ a2), -Ar, 0, al), \ Ar Ar / 22
/71м- = (г + ia cos б)-1 (2Де)-1''2 (ial sin 6, 0, A9, ——). (45)
V sin 9 j
При A=O эта тетрада переходит в тетраду Киннерсли для метрики Керра — Ньюмена. Отличные от нуля спиновые коэффициенты при таком выборе тетрады равны
P= (i'acoso—г)-1; т = —iasin6KA^/l/TS; ц = Агр/22;
? = - Р*. (K^ sin б),9; л = iap2 V'Ae sin Є//2"; ZyZ sin и
а = я — ?*; Y=Ii+(Ar),r/42. (46)
Ненулевые проекции тензоров Вейля и Максвелла имеют вид
<D1=_(Q + i7>)-?i; ^2 = Mp3 + - (Q2 + P2) P2, (47)224-
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
при этом Л=1/бЛ. Приведем также тетрадные проекции 4-потен-циала
A1 = (Qr—а/5)АГ1 =-^?-; Am= ip'P( 1 — coso)(y^sinв)-1. (48)
Пространство-время, описываемое элементом длины (31), помимо горизонта событий, окружающего сингулярность, — горизонта черной дыры г—г+ —, обладает космологическим горизонтом г= = г++, отделяющим область пространства времени, которая недоступна наблюдателю, находящемуся в области r+<r<r++, ни при каких значениях времени. Положение горизонтов событий определяется уравнением
Аг(гн) =0, (49)
которое, вообще говоря, имеет 4 корня. В статическом случае (а = 0) и при отсутствии зарядов (P = 0, Q=O) корней будет три, если МА2<1/з:
2 2 / a + jT
r++ = _cosa, r+=-_cos(_
Ci = arc cos ( — zyWJA). (50)
Третий корень Гз = — {г+ +г++) лежит вне физической области. При выполнении условия AM2^Cl космологический горизонт находится далеко от горизонта черной дыры, и в общем случае можно получить следующие приближенные формулы:
Arl rI
6 rg — M м— (Qa + P2)/2rf
г+ — 'Г 7~~м~' (51>
г++^r.-"- "I, (52)
1 + Mjrc
где гg = M+ VMi-a2—Qt-P3 , Tc=V3/л.
Времениподобный вектор Киллинга |(t) = d/dt становится изотропным на поверхностях Го(0), отделяющих эргосферу от горизонтов событий, определяемых из уравнения goo (ro, 0)=0. Таких поверхностей в физической области — две, при условии AM2Cl одна из них локализована вблизи горизонта черной дыры,
<-м Krl rI + °2
^'с + ^^-р (53)
6 г0 —M
где r0 — M + УМ2 — Q2—P—a2cos26—граница эргосферы черной дыры Керра — Ньюмена; а вторая — вблизи космологического горизонта,§ 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
225
(++) a2 sin2 0 , с..
rir"~r++-------(54)
2 гс
Угловая скорость вращения горизонтов событий определяется из условия (1.15), что приводит к соотношению
<55>
в которое в качестве Гн следует подставить г+ или г++.
«Поверхностная гравитация» кн на горизонтах событий определяется из уравнения (1.25), вычисления приводят к выражению
кн=-?-аI
I Qh--Aa
я / 3
(56)
которое при A = O переходит в (1.26). При г = г++ это выражение, как и следовало ожидать, отрицательно, поскольку знаки ускорений свободного падения на горизонте черной дыры и космологическом горизонте различны. При одновременном выполнении условий
Ar = 0, d Arldr=0 (57)
происходит слияние горизонтов. Совместное решение этих уравнений дает корни
f\,2 = ЗЛІ/26[1 з- (1 — 8M/9M2)'/2 ]; 6 = .1-a»/r?;
d = a2 + Q2 + P21 (58)
первый из которых отвечает слиянию внутреннего и внешнего горизонтов черной дыры г- = т+, а второй — слиянию горизонта черной дыры с космологическим горизонтом г+=г++. В точках слияния Kh = 0. Подставляя (58) в равенство dArldr = 0, находим соотношения между параметрами а, М, Q, P и Л, при которых происходит слияние
br2c/3—6afb + (9M2Ib2—2dIb—br2c/2) [1± (1 — 8М/9М2)'/2 ] = о, (59)
где верхний знак соответствует г+=г++, а нижний г-=г+. Эти равенства определяют физические области значений параметров а, М, Q, P и Л, при которых существует невырожденное решение Керра — Ньюмена — де Ситтера, обсуждение случая a=Q = P = = 0 см. в [270].
§ 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ