Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гальцов Д.В. -> "Частицы и поля в окрестности черных дыр" -> 75

Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.

Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр — М.: МГУ, 1986. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): chasticiipolyavokresnostichernih1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 100 >> Следующая


Рассмотрим массивное скалярное поле, обладающее электрическим зарядом, на фоне абелева решения Керра — Ньюмена — де Ситтера. 226

ГЛАВА VII

МАССИВНЫЕ поля ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР

Действие для массивного заряженного скалярного поля с минимальной связью имеет вид

SsJifVr=Jd** =

= JU(Vll-^ll) ф*] [(V, + іеАуЩ V^g d\x, (1)

что приводит к полевому уравнению

g*y (V11 + IeAll) (Vv + ieAv) ф + JX2Tp = 0. (2)

Из инвариантности действия относительно локального изменения фазы ф->еіа<д:)і|5 вытекает сохранение тока:

J»=YГ(V11 + "Л)? +к. с-. V^ = O. (3)

Для двух решений ф, г|/ уравнения (2) введем скалярное произведение

(?'?) = (?', ф) IZ=JdZlt, (4)

2

где 2 — некоторая пространственно-подобная гиперповерхность и •^"(¦ф'. Ф) — полуторалинейная форма, диагональная часть которой совпадает с сохраняющимся током (19.3)

?) = -^-1P" (V11 + IeAv)^--~^(V11-іеЛц) ф'*. (5)

Как в плоском пространстве-времени, скалярное произведение (4) для уравнения Клейна — Гордона не является положительно определенным.

В рассматриваемом случае аксиально-симметричных и стационарных полей фона сохраняются также токи (векторные плотности)

^ = (П + -L J»AV) oVr=J; -Щ- =о, (6)

где I11A, A = t, ф — векторы Киллинга. В формуле (6) Т\ — метрический тензор энергии-импульса,

л (Jm) <J1 <s>

T1ltV = Т" (V^r VV11 = V11 -4- IeAli, (7)

/тісап тсап

связанный с каноническим тензором J ^v соотношением і ^v = = 7^v + "77 j^v' § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

227 ^

Разделение переменных ^ л

Дифференциальные операторы ? = t'?$> Vlt и L= —і?(ф) Vlt (4.28) так же, как и в случае безмассового скалярного поля (§ 4), коммутируют с оператором Клейна — Гордона (и эрмитовы по отношению к скалярному произведению (4)). Поэтому решение уравнения (2) с заданными собственными значениями <а и т этих операторов (т = 0, ±1, ±2 ...) будет иметь вид

ф (/, г, 6, ф) = ф.т (г, 6) е-'т'+гтф. (8)

При подстановке (8) в (2) удобно представить оператор в левой части уравнения в формализме Ньюмена — Пенроуза, выбирая в качестве базиса изотропную тетраду (18.45). Учитывая явный вид спиновых коэффициентов (18.46) и тетрадных проекций 4-потенциала (18.48), для будем иметь уравнение

со со

[Ar (S1So+ + ®tSDo) + KA0 (Xf VAq X0 + Xt) -2ц22] ^fflm= о,

(9)

где

Я = ¦-4---І]г (г2 + а2)- eQr- (т-еР) a] + -J- А'г; =

dr Ar Ar

? д I [ . й т—еР\ ,

J?,=---acosinO--+

s ae A0 \ sine ]

і / , пч і. о і / п \ Aa2 sin 29

+ (s + еР) Ctg Є + (eP—S) ——-;

6Д0

д , 1 ! • а т — еР \ , Jfs = -гг- + —— аа Sin Є--—— +

59 A0 \ sin 9

+ (s— еР) ctg 6 —(s + еР) Аа3 sin 29 (10)

6Д0

— операторы, обобщающие (7.10), (7.11) и переходящие в последние при е=0, A=O. Нетрудно заметить, что первый оператор в круглых скобках в левой части уравнения (9) зависит только от г, второй — только от 0, а последнее слагаемое имеет вид суммы функций от г и 0; поэтому переменные в (9) разделяются фю т = (Q)Ram(r), при этом угловая функция удовлетворяет уравнению

rjL+ Zctgfl-Aa2sin29\ J-

L ae* V5 зд0 ) ae

+

(еР—асо cosfl)2

m_ep(l_cos8) N 2 _ _(асо)2 + 2 __ер) ш _

sin 9 j 822

ГЛАВА VII

МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР

AePaa cos б

Дё"2 + —И2а2 cos2e) ДІ"1

5 = 0, (11)

А, — собственное значение. Решения этого уравнения известны при некоторых частных значениях входящих в него параметров. При а = 0 (либо при |х = со=Л=0) решением (11) являются спиновые сферические функции еР (O) со спиновым весом еР и проекцией орбитального момента т — еР. В случае A = O и еР = = 0 будем иметь сфероидальные функции ST;m(0) С Y = aV<»2 — Если |х=А=0, решением (11) будут спиновые сфероидальные функции epSai%-ep (6). Соответствующие собственные значения можно получить с помощью формул, приведенных в Дополнении. Заметим, что минимальное значение орбитального квантового числа / не может быть меньше \еР\.

Радиальное уравнение, вытекающее из (19.9), имеет вид

{Дг Ar+ \1Ж — e(Qr—аР)]2—Ar(А, + |д2г2)J Ram = 0, (12)

где Ж=со (г2+ а2)—та. Вводя «черепашью» координату г* с помощью соотношения dr* = dr (г2+a2) /Ar (г*-»—оо при г->г+ и /¦*->+оо при /¦->/¦++), а также новую радиальную функцию Х<°т(г) = (г2+a2y''Ram (г), приведем (12) к виду уравнения Шре-дингера

_ + Veffxam= 0 (13)

с эффективным потенциалом

Veff = (г2 + а2)-2 {(X + JiV2) Ar + Ar (гAr)' (г2 + а2)-1-

— ЗД?г2 (г2 + а2)-2—[ІУС — (eQ—аР)]2}, (14)

переходящим в (4.67) при jx=A=0. Потенциал (14) принимает постоянные значения на горизонтах гн = г+, г++

Vett (гн) = —kH2; kH=I[<a—(m — eP)QH — eVH]t (15)

где VH = QrH/[/(гн2 + а2)] — электростатический потенциал горизонтов. Поэтому в окрестностях горизонтов линейно независимые решения радиального уравнения (13) имеют вид

uff(r)csie±lk»r\

r^rH

В случае A=O потенциал (14) при г*-»-оо (/¦->оо) стремится к постоянному значению

Veff-(CO2-JX2)=X2, (16)

Г-*- 00 § 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

229 ^

поэтому частица может уходить на бесконечность при со>ц и

асимптотически расходящиеся и сходящиеся волны описываются решениями
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed