Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим массивное скалярное поле, обладающее электрическим зарядом, на фоне абелева решения Керра — Ньюмена — де Ситтера.226
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ поля ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
Действие для массивного заряженного скалярного поля с минимальной связью имеет вид
SsJifVr=Jd** =
= JU(Vll-^ll) ф*] [(V, + іеАуЩ V^g d\x, (1)
что приводит к полевому уравнению
g*y (V11 + IeAll) (Vv + ieAv) ф + JX2Tp = 0. (2)
Из инвариантности действия относительно локального изменения фазы ф->еіа<д:)і|5 вытекает сохранение тока:
J»=YГ(V11 + "Л)? +к. с-. V^ = O. (3)
Для двух решений ф, г|/ уравнения (2) введем скалярное произведение
(?'?) = (?', ф) IZ=JdZlt, (4)
2
где 2 — некоторая пространственно-подобная гиперповерхность и •^"(¦ф'. Ф) — полуторалинейная форма, диагональная часть которой совпадает с сохраняющимся током (19.3)
?) = -^-1P" (V11 + IeAv)^--~^(V11-іеЛц) ф'*. (5)
Как в плоском пространстве-времени, скалярное произведение (4) для уравнения Клейна — Гордона не является положительно определенным.
В рассматриваемом случае аксиально-симметричных и стационарных полей фона сохраняются также токи (векторные плотности)
^ = (П + -L J»AV) oVr=J; -Щ- =о, (6)
где I11A, A = t, ф — векторы Киллинга. В формуле (6) Т\ — метрический тензор энергии-импульса,
л (Jm) <J1 <s>
T1ltV = Т" (V^r VV11 = V11 -4- IeAli, (7)
/тісап тсап
связанный с каноническим тензором J ^v соотношением і ^v = = 7^v + "77 j^v'§ 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
227 ^
Разделение переменных ^ л
Дифференциальные операторы ? = t'?$> Vlt и L= —і?(ф) Vlt (4.28) так же, как и в случае безмассового скалярного поля (§ 4), коммутируют с оператором Клейна — Гордона (и эрмитовы по отношению к скалярному произведению (4)). Поэтому решение уравнения (2) с заданными собственными значениями <а и т этих операторов (т = 0, ±1, ±2 ...) будет иметь вид
ф (/, г, 6, ф) = ф.т (г, 6) е-'т'+гтф. (8)
При подстановке (8) в (2) удобно представить оператор в левой части уравнения в формализме Ньюмена — Пенроуза, выбирая в качестве базиса изотропную тетраду (18.45). Учитывая явный вид спиновых коэффициентов (18.46) и тетрадных проекций 4-потенциала (18.48), для будем иметь уравнение
со со
[Ar (S1So+ + ®tSDo) + KA0 (Xf VAq X0 + Xt) -2ц22] ^fflm= о,
(9)
где
Я = ¦-4---І]г (г2 + а2)- eQr- (т-еР) a] + -J- А'г; =
dr Ar Ar
? д I [ . й т—еР\ ,
J?,=---acosinO--+
s ae A0 \ sine ]
і / , пч і. о і / п \ Aa2 sin 29
+ (s + еР) Ctg Є + (eP—S) ——-;
6Д0
д , 1 ! • а т — еР \ , Jfs = -гг- + —— аа Sin Є--—— +
59 A0 \ sin 9
+ (s— еР) ctg 6 —(s + еР) Аа3 sin 29 (10)
6Д0
— операторы, обобщающие (7.10), (7.11) и переходящие в последние при е=0, A=O. Нетрудно заметить, что первый оператор в круглых скобках в левой части уравнения (9) зависит только от г, второй — только от 0, а последнее слагаемое имеет вид суммы функций от г и 0; поэтому переменные в (9) разделяются фю т = (Q)Ram(r), при этом угловая функция удовлетворяет уравнению
rjL+ Zctgfl-Aa2sin29\ J-
L ae* V5 зд0 ) ae
+
(еР—асо cosfl)2
m_ep(l_cos8) N 2 _ _(асо)2 + 2 __ер) ш _
sin 9 j822
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
AePaa cos б
Дё"2 + —И2а2 cos2e) ДІ"1
5 = 0, (11)
А, — собственное значение. Решения этого уравнения известны при некоторых частных значениях входящих в него параметров. При а = 0 (либо при |х = со=Л=0) решением (11) являются спиновые сферические функции еР (O) со спиновым весом еР и проекцией орбитального момента т — еР. В случае A = O и еР = = 0 будем иметь сфероидальные функции ST;m(0) С Y = aV<»2 — Если |х=А=0, решением (11) будут спиновые сфероидальные функции epSai%-ep (6). Соответствующие собственные значения можно получить с помощью формул, приведенных в Дополнении. Заметим, что минимальное значение орбитального квантового числа / не может быть меньше \еР\.
Радиальное уравнение, вытекающее из (19.9), имеет вид
{Дг Ar+ \1Ж — e(Qr—аР)]2—Ar(А, + |д2г2)J Ram = 0, (12)
где Ж=со (г2+ а2)—та. Вводя «черепашью» координату г* с помощью соотношения dr* = dr (г2+a2) /Ar (г*-»—оо при г->г+ и /¦*->+оо при /¦->/¦++), а также новую радиальную функцию Х<°т(г) = (г2+a2y''Ram (г), приведем (12) к виду уравнения Шре-дингера
_ + Veffxam= 0 (13)
с эффективным потенциалом
Veff = (г2 + а2)-2 {(X + JiV2) Ar + Ar (гAr)' (г2 + а2)-1-
— ЗД?г2 (г2 + а2)-2—[ІУС — (eQ—аР)]2}, (14)
переходящим в (4.67) при jx=A=0. Потенциал (14) принимает постоянные значения на горизонтах гн = г+, г++
Vett (гн) = —kH2; kH=I[<a—(m — eP)QH — eVH]t (15)
где VH = QrH/[/(гн2 + а2)] — электростатический потенциал горизонтов. Поэтому в окрестностях горизонтов линейно независимые решения радиального уравнения (13) имеют вид
uff(r)csie±lk»r\
r^rH
В случае A=O потенциал (14) при г*-»-оо (/¦->оо) стремится к постоянному значению
Veff-(CO2-JX2)=X2, (16)
Г-*- 00§ 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
229 ^
поэтому частица может уходить на бесконечность при со>ц и
асимптотически расходящиеся и сходящиеся волны описываются решениями