Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Суперрадиация и квантовые процессы во внешнем магнитном
поле
Внешнее однородное магнитное поле вокруг вращающейся черной дыры, как было показано в § 9, создает эффективную разность электростатических потенциалов между горизонтом событий и удаленной точкой. В силу этого порог суперрадиации для заряженных частиц должен смещаться, как это имело бы место для заряженной дыры, порождающей такую же разность потенциалов. С другой стороны, если (невращающаяся) дыра электрически заряжена, то при наличии внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси симметрии, возникает азимутальная компо-242
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
нента вектора Пойнтинга суммарного электромагнитного поля вокруг дыры, которая дает вклад в компоненту §оф метрики. Этот вклад приводит к увлечению систем отсчета и возникновению эффективной эргосферы также и для нейтральных частиц. Рассмотрим каждый из этих эффектов подробнее [279].
Запишем уравнение Клейна—Гордана для заряженной массивной частицы в пространстве-времени Керра—Ньюмена при наличии пробного внешнего однородного магнитного поля напряженности В, выбирая для 4-потенциала поля «кулонову» форму (9.15) (Ло(г = оо)=0):
д
,дг
дг
1
д
dQ
sin 0 2а (2Mr — Q2)
Sint
дв
(г2 + а2)2
-Cli sht
dt2
O21|3 dt дф
^ sin2 Є
d2tp
0ф2
— 2ie 2
r(r2 + a2) _g
— Q + —
ДБ 2
ДБ dt
+ (еМ^— ц2) Бг|з = О,
Q = Q—2aMB эффективный заряд и квадрат 4-потенциала равен
дф
+
где
AliA* = — ((г2 + a2)2 - Aa2 sin2 8)-
аВ
¦Г Sin'
Q2 г2
ДБ
(62)
(63)
(64)
Провести полнее разделение переменных в уравнении (64) не удается, однако если магнитное поле достаточно слабое, то можно рассматривать уравнение (62) в области гCr0^г+, предполагая, что при г~г0 пространство-время можно считать плоским, а величину IeSr02I — малой по сравнению с единицей. Поток частиц от черной дыры будем вычислять при г~г0, имея в виду, что в более реалистической задаче однородное магнитное поле должно быть сшито с некоторым убывающим полем. Если предположить также, что |eQ|<Cl, то в уравнении (62) можно пренебречь всеми, ее членами, квадратичными по В, за исключением члена (Q—2aMB)2jA, сингулярного на горизонте событий. В этом приближении уравнение (63) допускает разделение переменных ^ = = ехр (—mt+im(f>)S(Q)R(r), причем угловая функция удовлетворяет (11) при P = A = O и эффективной массе частицы
V2 = V2-еВт, (65)
а радиальное уравнение имеет вид (13) с эффективным потенциалом (14), в котором нужно положить P=A=O; Q = Q и ц=р..§ 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
243 ^
Асимптотические значения потенциала таковы
СП
со2—ц2 + еВт = Ki, г > г+,
Veff =
(66)
со — mQ+--~ (Q— 2аМВ)
;fe+> г -»г+.
Добавка e?m в асимптотической области описывает зеемановский сдвиг энергии заряженной частицы в магнитном поле. Добавка члена —2аМВ в асимптотическое значение потенциала на горизонте соответствует фарадеевской разности потенциалов, индуцируемой вследствие вращения дыры в магнитном поле.
Вычислив потоки энергии, углового момента и заряда при г~г0, получим выражения (28) — (30), в которых следует заме-
сл
нить k+ на k+ и Q на <3. Заметим, что последнее слагаемое во второй строчке в (66) обращается в нуль при Q = 2aMB. Это означает, что в результате суперрадиации во внешнем магнитном поле черная дыра может приобрести электрический заряд. Если магнитное поле становится настолько сильным, что вблизи горизонта индуцируемое электрическое поле 2аМВ/г+2 имеет порядок швингеровского поля Vi2Ie, то вступает в действие электродинамический механизм рождения пар [144]; этот процесс также прекращается после приобретения черной дырой электрического заряда Q = 2aMB.
Процессы суперрадиации и квантовые испарения удается проанализировать и в более реалистическом случае аксиально-симметричного внешнего электромагнитного поля, спадающего на бесконечности. Выберем калибровку так, чтобы Ap,= (Л0, 0, 0, Л0), причем компоненты A0, Др, зависящие от г и 0, обращаются в нуль при г—>-оо (на горизонте величины Ло+=Ло(г+)) и Aip+= =Лф(г+) будут, вообще говоря, конечны). Сингулярность квадрата AixA^ на горизонте, как и в случае однородного поля, не приводит к трудностям, так как вклад в эффективный радиальный потенциал оказывается конечным (альтернативный способ состоит в использовании двух различных несингулярных калибровок на горизонте и на бесконечности при одновременном умножении ф на соответствующий фазовый множитель). Благодаря аксиальной симметрии и стационарности поля можно выделить зависимость от времени и азимутального угла
«h__/от (г, 8) а—ші+ітір (р,7\
Ym т— , .„,1/2 е
(г2+ а2)1
и, вводя «черепашью» координату г*, получить из уравнения Клейна—Гордона в метрике Керра уравнение для fam(r, 0):
da/(om I А 1 д / • ft dfvrn
dr*2 (г2+ a2)2 sin Є <?e
0)/^=0 (68):244
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
€ эффективным «потенциалом» W (г, 9), который при сделанных предположениях относительно поведения A11 имеет асимптотические значения