Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, независимо от величины параметра г) мгновенное излучение при x-Cl описывается формулами (22), (23) с адиабатически изменяющимися параметрами. Ниже рассматриваются спектрально-угловые характеристики и поляризация полного излучения релятивистской частицы с учетом радиационного трения в классической области (I—II).
Энергия частицы, движущейся в магнитном поле, изменяется вследствие излучения по закону
?(/) = ц ?(0) + , (28)
v ' r ?(0)th 6/ + (1
где б = 2/за(B/Be)2\i. Через время t~б-1 энергия становится порядка массы покоя:
1,2ц (?(0)»ц). (29)
^ 0,8 ?(0)+1 t^ v v ' r v r
В случае движения под углом к магнитному полю будет зависеть от времени также и угол между направлением скорости и магнитным полем:
tg^(s)= — — tg "Ф (0) е os; = (30)
Спектр и поляризация интегрального излучения
В пределах применимости классической теории поправки к мгновенной интенсивности излучения вследствие радиационного трения пренебрежимо малы. Действительно, интенсивность излучения определяется ускорением в собственной системе отсчета. Поскольку сила радиационного трения перпендикулярна к силе Лоренца, эти векторы преобразуются различным образом при переходе к системе покоя электрона. Оказывается, что даже при т(>>1 (т. е. если в лабораторной системе сила радиального трения является доминирующей) в собственной системе отсчета электро-
TT 2 BE
на отношение силы трения к силе Лоренца равно —
и, следовательно, в а раз меньше квантового параметра х, предполагаемого малым.
Спектральное распределение полной излученной энергии может быть поэтому найдено интегрированием по времени выражения для мгновенного спектрального распределения интенсивности излучения. Учитывая, что при усреднении по времени дискретный « 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; КВАНТ®ВЬШ ЭФФЕКТЫ,
175
мгновенный спектр размывается, перейдем к непрерывному спектральному распределению
«(©)= ? J с#б (со—mco? (/)) Im (t),
(31)
m=l О
где Im(t) — мгновенная мощность излучения гармоники т основной частоты a)e{t) =еВ/Е (t), для которой удобно воспользоваться шоттовским выражением (см. [197]). Проинтегрировав по времени с помощью б-функции, получим
TTli
l(co)= J
2^52
m=m,
6o)?(co)Y^(i2um
TTl
\j'2m(2mvm)--^r \j,m(2ml)dlh
I і mm V '
V
1 —
[mo)?(oo)
4m = m
(o?(oo)
(32)
Пределы суммирования определяются из условия обращения в нуль аргумента б-функции
OT1= 1 +
Wfi(OO)
Г ш 1
, т2 = W?(0) J
(33)
где квадратными скобками обозначена целая часть. Спектр обрывается снизу на частоте сов(оо).
Из рис. 10 ясно, что число членов суммы растет с увеличением частоты, причем большая часть кривых m(?B(t) пересекается прямой 10 Co=Const в области t^б-1, когда электрон еще является релятивистским. Поэтому при со сод (оо) можно с достаточной точностью
8В W 30
— — o>=const
Рис. 10. Зависимость частоты гармоники W от времени (в единицах соо,) для ?(0)/,(1^10
воспользоваться аппроксимацией функций Бесселя функциями Макдональда [20], справедливыми в ультрарелятивистской области. Учитывая, что при со^>сол(0) число членов в сумме (32) становится большим, перейдем от суммирования по т к интегрированию по vm: :176 V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
А) Г j Г-5 ^ / 2со(1 — у2)
- ,VTb И* V1-* ( Зш0
M0 ' \ Зшо (1 — ^)1/2 у
(34)
В результате преобразований с использованием рекуррентных соотношений для функций Макдональда выражение для спектра полной энергии излучения представим в виде
Tl =4"7" —' 'W= -TT^(f (X)-F(Y2a^)I
da З В у0 8л ух а
F(X)= j(y3/2_x3/2)K5/3(y)dy>
X=Ajl-^-. (35)
^ (і by§
Эта формула получена при условии при этом интеграл от
функции f(x) равен единице.
Значения функции F(x) в существенной области изменения аргумента приведены в [208]. При малых х справедливо следующее разложение:
FW = г (JLWf-LU
V ' 72/2 \ 12 1 \ 12 У
, / „3/2 . .у» 5/6 о1/3 13/6 \
+ яКз (---25/3 - 4 * +---*- + ...). (36)
\ 3 5 J 26 Г(2/3> } V '
26 Г(2/Э)
Асимптотическое разложение при дС§>1 имеет вид ?(*) = / і ^ (і +
55 1
¦ ,• (37)
48 * ' v
Интегрально функция f(x) правильно описывает спектр, поскольку с рассматриваемой точностью
? = J|(cu)dcu=?(0)A ?(0)~ji. (38)
Функция f(x) имеет максимум при х=0,075, что соответствует частоте порядка 3/гсоо (строго говоря, для выяснения формы спектра в этой области следует обратиться к точной формуле (32)).
Если электрон находится в поле конечное время Т, за которое не происходит полного высвечивания, то спектральная функция будет определяться выражением « 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; КВАНТ®ВЬШ ЭФФЕКТЫ, 177
fT(x)= -I^I=-IF(X)-F(Xt)I *г = * (—)'. (Щ
он у X Yo '
В этом случае положение максимума соответствует частоте 3^WtfYr2 и определяется конечной энергией электрона. Отметим', что в обоих случаях положение максимума в спектральном распределении практически не зависит от начальной энергии электрона, а определяется конечной энергией.
Для оценки углового распределения полного, излучения можно вычислить отношение полной энергии излучения, испускаемого перпендикулярно плоскости орбиты, к энергии излучения, испускаемого в плоскости орбиты:
