Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Радиационные функции Грина
С помощью построенных в § 7 запаздывающих функций Грина можно получить простые выражения для соответствующих радиационных функций Грина
sGrad(x, х') = 1I2UOvet(х, X') —sGadv(x, х')). (1).
Учитывая вещественность запаздывающих функций, а также общее соотношение sGret(;c, х') = sGadv* (л/, х), можем переписать (12.1) в виде
sG™d (*, *') = 1/2 GG«* (*, *') —sGret (л/, х) ) . (2)
Подставляя выражение (7.111) в (2) и выделяя в явном виде радиальную часть, получим следующее представление для радиационной функции Грина:
_ lsl+s*
sG"d (*,*') = У 2 5 2 i-f-(?sT?Z(6,<p))x
AmJ |Ш|
Immp
X (PsTs4Z (6', <p'))V-to(«-n [(_#«P (r) _s^out. (r') +
+ _s#down (r) -Min' (r')) 6 (Г — Ґ) + (-Min (r) -Mdovn' (r') +
+ -Mout (Г) -M"*' (r')) 6 (r' -r)], (3)
где для сокращения записи у радиальных и угловых функций опущены индексы I, т, со, р. § 12, РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ В ПОЛЕ КЕРРА
157-
Для дальнейших преобразований введем «ненормированные» радиальные функции, отличающиеся от (7.66) и (7.67) отсутствием коэффициентов уS и 8s.
s5cin(r)=YssT1ln(r); s5cup(r)=6ssT1up(r). (4)
Сравнивая асимптотики функций (7.66) и (7.67) при г*—>-±оо, можно убедиться в справедливости следующих соотношений:
S1Idown = -StIup* = S1Iin- Os S1Iup, (5)
S1I0u' = -S1Iin* == Klk xsx'_s Є (foo) (STP + Ctls S1Iin), (6)
где e(kco) =k(a/\k(i)\ — «индикатор» сверхизлучения. Заметим также, что в силу равенства (7.83), связывающего значения коэффициентов Ts с противоположными S, выполняется соотношение
ksXsX— s* = (ksXsX— s*^) * = k—sT— sTs*, (7)
т. е. эта величина вещественна.
Радиальные моды типа «in» и «ир» (7.66), (7.67) нормированы таким образом, чтобы имели место формулы (7.42), (7.43) для s= ±2 и (7.54), (7.55) для ,s= ±1, что достигается выбором коэффициентов в соответствии с равенствами (7.80) и (7.81). Поскольку эти коэффициенты комплексны, для мод «out» и «down» формулы связи между функциями с противоположными s приобретают дополнительные множители. Чтобы найти их, подставим разложения (5) и (6) в (7.42), (7.43) и (7.54), (7.55) для s= ±2 и s = = ±1 соответственно и воспользуемся соотношениями (7.80) — (7.83). В результате оказывается, что для радиальных функций-s5?out и S^down формулы связи (7.42), (7.43), (7.54) и (7.55) выполняются, если эти функции дополнительно умножить на 2s. Учитывая выбор коэффициентов, выражаемый формулами (7.109), можно также написать соотношение
* с*
Y б
Д ,^out(down) _ S ~s ^gy
S S Ys6s
где оператор sA определяется из формул (7.42), (7.43), (7.54) и (7.55) для S= ±2 His=±l соответственно
2Л = —(®+)*Д2; _2Л = -І- ,
(9)
^Cfm ,CJm
Вводя в формулу (3) оператор SA, действующий на переменную г, перепишем (3) в виде '158
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
|s|+s»
СО
Imap
лг'
+
(r)_3°ut' (r') + S^down (Г)-Min' (г')) 6 (г-г') +
Y-S6-S /
т>п (г) -.Mdown' (о + S^out (/-)_s^up-(r')x) е (Ґ —г)
(10)
Учитывая (7.56) и (4), легко заметить, что в квадратных скобках ¦стоят комбинации «ненормированных» функций
(,T1UP (r)sir (r') + _sT1up' (O-Stlin' (r')) 6 (Г -Ґ) +
+ (SrIin (r)sTP (r') + -Stlin' (r)_stl«P* (r')) 6 (r'-r), (11)
которые можно преобразовать с помощью (5), (6)
stfP (r)_stlin (Ґ) + stl«P* (r) stiin* (r') =
= е.(Йт).* [(-Stlin' (Г) - Ol, snin (Г)) sriin (r') + fesTsT—5
+ (S1Tln (r) -(Ts-Snin' (r)) ^tiin' (r')]. (12)
•С другой стороны, из (6) имеем
-StluP* (г) sT}up(r') =
= (As/A.TsT^*)-2(sT|ta(r)—<Ts-sT|In* (Г)) • (-Stlin* (r')-o-s*stiin(0) •
(13)
.Исключая из (12) и (13) члены, пропорциональные o±s, и используя условие сохранения потока (7.71), находим
stfp (г) stlln (Ґ) + _stluP' (Г) -Stlin' (Ґ) =
= _sriin' (Г) sTtin (Ґ) + ks/kxsx'_sє (Ы) ^Tlup' (Г) stlup (r'). (14)
Поскольку левая часть этого равенства при замене s на —s переходит в комплексно-сопряженную величину, в то время как в правой части помимо комплексного сопряжения требуется замена r+-*-r', можно прийти к выводу, что это выражение симметрично относительно аргументов г и г'. В результате сложения функций Хевисайда в (11), возвращения к исходным радиальным функциям и повторного применения соотношения (8) из (10) получим
1_3_Іі!±іг
,G-V,*')= ?2" ¦ ,-І-Х
1тч>р § 12, РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ В ПОЛЕ КЕРРА
159-
X
б*
-=L (Р snout (1т<?>р,х))®{Р snout {1т«>р, х')У +
-Ll Al х*т_5є (сой) (Р s^down (lma>p, х)) (? (Р sjidown (/mcop, л:'))*
(15)
Наконец, воспользовавшись явным видом коэффициентов 6S и (7.109), окончательно будем иметь
sGrad (х, JC')= V] 2 2 і\(Psnout(lmap, X))®.
Iml L
Imasp
® (Р 5яои1 (lttmp, X:'))* + TsT_se (to) (Р s^down (/mcop, *)) ®
k
® (Ps^down (lmap, х')У
(16)
Заметим, что радиационные функции Грина непрерывны в точке г=ґ и, будучи построенными из решений однородных волновых уравнений, удовлетворяют линеаризованным уравнениям Эйнштейна (s= ±2), уравнениям Максвелла (s=±l) и уравнению Даламбера (s = 0) по каждому из аргументов
