Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
W±i2 Gfcd (x, x') = (X')± 2 Gr,aTd (x, x') = 0,
(*)± і gvad (x, x') = g^; (*')± і gvad (*, *') = 0,
? *0Grad(x, *') = 0Grad (х, x') = 0, (17)
где ёцухг и — операторы, введенные в § 6.
Потери энергии и момента при излучении
Обратимся теперь к вычислению интегралов (7.157), выражающих полные потери энергии и аксиальной компоненты импульса при излучении волн заданным источником. Излучение гравитационных волн описывается формулами (7.144) (поток на дыру) и (7.152) (поток на бесконечность). Для построения п]з4 при г-*-оо и A2^0 при г—>т + используем разложения
nh^Y rZ I Rlmusp (г) ^2Zjm (6, ф) е-ш, (18)
^0°' Inmp
А«фо со Y A2 2Rlmusp (г) Л» (9. Ф) е~Ш, (19)
Imusp
в которых радиальные функции определяются путем сравнения (7.39) и (7.40) с (7.97). Учитывая (7.56), а также (7.63), (7.65) в (7.66) и (7.67), для радиальных функций в асимптотических областях получим'160
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
r-2 Rtmap (г)I о» сл ї/"2 «о |со\~3'2yZ\еШг (Р _2<v (Іпшр; х); Tllv(X)),
(20)
A2 .Kimep(')I OO V2 ico Icor1 1*1~1/26Г1 X
X (P2(//шар; *); Ttw (x)). (21)
Подставляя (20) в (18) и далее в (7.152) с учетом явного вида коэффициента у—2 (7.109), находим следующее выражение для полной потери энергии и момента за счет гравитационных волн, уходящих на бесконечность:
fflI (тГ/31 {р ~2Л^t {1тар'х)'Т*4 (х)) 12- (22)
ImajP
Здесь предполагается, что источник T"v остается «включенным» в течение конечного времени, в случае стационарного источника вместо (22) следует рассматривать соответствующую величину, отнесенную к единице времени.
Аналогичные вычисления с использованием (7.144), (19) и (21) дают для потерь энергии и момента источником за счет поглощения гравитационных волн черной дырой
„н V4 1 col im \а/з k.2 * ,, . _
Imap
X I (Р(Inrnpt X), rv (X))12 (23)
(причем для е (Ato) < О имеет место отрицательное поглощение). В случае электромагнитных волн используем разложения
ГФ2 (Г) С/3 V ^-XRlmap (T)-Xllm (6, Ф) е~ш, (24)
г-*- CD
Imtop
Imap
(г)А(Ь,ч)е~ш, (25)
+ Imap
причем радиальные функции нетрудно найти, сопоставляя формулы (7.97) с (7.52) и (7.53). В асимптотических областях имеем
rZ\ Rlmm (г) І ,-.»о оо V2 і I co 11/2 со"1 Y-I (Р - inT (limp, х), (*)), (26)
A1Rimap (г)\г-+г+ сл|со| со-1 |А|- '/2 б Г1 (Mr+)"1/2 T1 (Р ,^own (lmap, х), f (*)).
(27)
Подстановка (26) в (24) и далее в (7.149) дает
& = ? 4 IfflJ l(P-i<ut(W, *), Г Ш2 (28)
Imap§ 12, РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ В ПОЛЕ КЕРРА
161-
и аналогично для поглощения дырой
г$л = V 3-\А/3 \(Р^rnIW- *),
a 4 А (29)
Для случая скалярных волн соответствующие выкладки элементарны, и мы их приводить не будем. Объединяя результаты с (22), (23), (28) и (29), получим для потерь энергии и момента за счет излучения на бесконечность и поглощения («суперрадиации») дырой следующие универсальные выражения, пригодные для всех трех случаев:
мй = ? 22|s|-s!+1 IcoI |(?-[s|Hout(/mcop, x)-si(x))\\ (ЗО)
Immp
-)—2|s|—s'+l ( m \ A? „,.ч k-
ugH = ? 2-2|S,-,+1 у* |ffl| e J^l T_|s|T.s| x
Immp
X |(PIsi^down (/mcop, *).SJ(X))I2. (31)
Эти формулы выражают потери на бесконечности через моды, имеющие неотрицательный индекс is, и потери на горизонте через моды с неположительным индексом s. Однако с помощью формул (7.106) и (7) нетрудно перейти к величинам с произвольным s, при этом изменится лишь численный множитель.
Уравнения движения точечной частицы с учетом реакции излучения и законы сохранения
Рассмотрим сначала уравнения движения точечной частицы в заданном поле — скалярном, электромагнитном и поле гравитационных возмущений в фоновом пространстве времени с метрикой (х) (соответствующие константы связи будут qc, е и р, — масса частицы). Варьируя лагранжиан (4.7) по координатам частицы, взаимодействующей со скалярным полем, получим уравнение движения
L- №+ дай* (S))) ig = (32)
где величина в квадратных скобках играет роль обобщенного импульса, u^g^dx^ds; DIds = u11Vll — ковариантная производная вдоль мировой линии частицы. Правая часть (32) имеет смысл 4-силы, именно эта величина и будет интересовать нас ниже.
В случае электрического заряда, движущегося в электромагнитном поле A11(X), имеем
P J^ = Є (-^Z-V-Msl), (33)
rds \ дх» ds J v '
і де во втором слагаемом выделена полная производная от 4-по-'162
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
тенциала Av. вдоль мировой линии частицы (не дающая вклада в необратимые потери на излучение). Интересующая нас сила радиационного трения, следовательно, содержится в первом слагаемом в (33), который имеет вид, аналогичный правой части (32).
Наконец, уравнение движения нейтральной частицы в поле гравитационных возмущений Zitiv на фоне искривленного пространства-времени С метрикой guv можно получить из уравнения геодези-
CO
ческих в пространстве-времени с метрикой gv.v=gl„ + hliV [189]
^2*.? = 0, (34)
<" 2 дх» 4 '
as
где
СО СО СО СЛ СО (Л
uH = ^HVuv= S p.vdxv Ids,