Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Условия возникновения отрицательного поглощения
При взаимодействии гармонического осциллятора с полем электромагнитных волн со случайными фазами, происходит поглощение энергии волн. Пусть осциллятор частоты Q подвергается действию внешней силы f (t),
X + Q2x = f(t). (1)
Решение этого уравнения с начальными условиями я(0)=і(0)=0 имеет вид
t
X (t) = QT1 J sin Q (t — t')f (Ґ) dt'. (2)
о
Рассмотрим случай периодической внешней силы
/ (*);=/„ cos(©f—в), (3) § 15. МАЗЕР-ЭФФЕКТ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
193
где б — фаза, предполагаемая случайной величиной. Вычислим работу, производимую внешней силой над осциллятором в единицу времени, усреднив мгновенную величину мощности по фазе б
2я о
Продифференцировав решение (2) по времени и подставив результат в (4), получим выражение
t
P=\cosQ(t-t'){f(t')f(t))6dt', (5)
о
где введена корреляционная функция
(fin, f(t))6 = ^-COS<*(t-t'). (6)
В результате интегрирования по Ґ находим
с2
P— 0 / sin (м + Q) * і si" (СО — Q) П /уч
~ 2 \ со+ Q со — Q J'
Как видно из этой формулы, мощность поглощения является осциллирующей величиной, среднее значение которой обращается в нуль, за исключением случая резонанса W = Qo, когда P линейно нарастает со временем. В случае точного резонанса необходимо учесть диссипативные процессы, что можно сделать, интегрируя выражение (7) по времени согласно соотношению
OO
P = V §P(t)er«dt, (8)
o
где V — эффективная частота, характеризующая скорость диссипации энергии.
Учитывая в (7) лишь второе резонансное слагаемое, получим
f2
п fo v (9)
2 (со —Q)2 + v2
Эта величина, принимающая максимальное значение при W = Q, очевидно, является всегда положительной.
С квантовомеханической точки зрения положительная определенность P объясняется следующим образом. Гармонический осциллятор имеет эквидистантный спектр энергий
En = HQ (п+1/2), (Ю) 194
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
поэтому при воздействии резонансной внешней силы возможен дипольный переход с уровня En на En+1 (поглощение), а также переход на уровень En-\ с отдачей энергии. Поскольку матричные элементы переходов Vn,n+\~ti+1, a Vn,n-i ~п, то разность вероятностей переходов в единицу времени, определяющая суммарную мощность поглощения
Р=Йш(ш„,„+1—W„,„-i), (11)
оказывается величиной положительной.
Этот вывод может измениться, если собственная частота системы зависит от энергии, как, например, для электронов, движущихся в однородном магнитном поле
q = Qb =_!?!*_ = JfiaVn=^. (12)
E т
Если частица при взаимодействии с электромагнитной волной увеличивает свою энергию, поглощая энергию волны, то Qb уменьшается и ларморовское вращение замедляется до тех пор, пока частица не выходит из резонанса с волной. Если же происходит, наоборот, передача энергии волне, то вращение становится более быстрым. На рис. 15 схематически изображено взаимо-
Рис. 15. Формирование сгустка при воздействии периодической силы на электроны, движущиеся по окружности в магнитном
поде
действие электронов, вращающихся по окружности в однородном1 магнитном поле, с периодической внешней силой. Диаграммы соответствуют моментам времени, когда сила направлена вертикально вверх. Первоначально все частицы расположены на окружности равномерно, при этом частицы 1, 2 увеличивают энергию и их ларморовское вращение замедляется; наоборот, частицы 3, 4„ энергия которых уменьшается, начинают вращаться быстрее. Через несколько периодов образуется сгусток, вращающийся с частотой Qb, соответствующей результирующему равновесному значению энергии. Если co<Qb, то сгусток опережает волну по фазе.; и в результате займет равновесное положение, отвечающее систе-1 § 15. МАЗЕР-ЭФФЕКТ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
195
матическому поглощению энергии. Напротив при co>Q? положение сгустка будет соответствовать отрицательному поглощению.
С квантовой точки зрения зависимость частоты от энергии проявляется как слабая неэквидистантность энергетических уровней: расстояние между соседними уровнями убывает с ростом энергии. И хотя матричные элементы переходов вверх (с поглощением) больше по абсолютной величине, чем матричные элементы переходов вниз (с излучением), соответствующие вероятности могут оказаться в обратном соотношении, если частота со не точно совпадает с Qb, но несколько превышает Qb- В самом деле, при учете уширения уровней закон сохранения энергии при вынужденных переходах выражается наличием резонансного фактора
(со — Qn п,)2 + V2 ' (13)
где Qfin' =- (Efi En' )/%, V— эффективная ширина уровней в единицах частоты. Пусть по определению
QB = Qb(EU) = (?„+!—?„)/Й, (14)
тогда при co>Q? дипольные переходы с уровня En на уровень En-I могут оказаться более вероятными, нежели переходы En-^En+1, из-за различной величины резонансного множителя (13). Суммарная мощность поглощения будет равна
P= Псо (ш„.п+1 -Wn^1) ~ й© JL- ^ (E) (co_nJ?))2 + v2 ) , (15)
где положено
wn,n+i = w(E) (co_nJ?))2 + v2-. (16)
В результате дифференцирования по E с учетом зависимости частоты от энергии получим
