Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
189
которой пространство-время является плоским [217]. Такая процедура применима и в более общем случае ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле Fiiv в искривленном пространстве-времени с медленно изменяющимися параметрами. Именно необходимо, чтобы длина формирования основной части спектра СИ А/си^^о/у была мала по сравнению с масштабом L изменения гравитационного и электромагнитного полей. При этом характерная длина волны в спектре излучения имеет порядок Я~А/Ау2~Го/у3, причем волновая зона начинается на расстояниях, малых по сравнению с Го¦ Можно поэтому рассматривать излучение в локально-геодезической системе отсчета, начало которой находится в некоторой средней точке дуги формирования Д/си как излучение в пространстве Минковского. Переход от локально-геодезической системы координат {І"} к общей системе координат осуществляется с помощью соотношения
Itl = Ai
H
(*V_ + -L fa? (*«- xl) (xfi - *8) 1 , ( 36)
где Av = д^/дхУ в точке ха = ха0. В терминах координат квадрат интервала равен ds2 = (d|° )2—(d?')2. Будем считать, что
начало системы координат выбрано в точке Xoa мгновенного положения частицы. При сделанных предположениях волновая
зона в системе (Itt) начинается на расстояниях, много меньших масштаба неоднородности L гравитационного поля, поэтому для вычисления мощности СИ ультрарелятивистской частицы можно воспользоваться формулой электродинамики в пространстве Минковского
______OO
dl е2 Г / _ , т . х
d3k (2л)1
(6° )"1 jdx|? (s+-|-)
x5,(s_f ^kkk;,
где ^=((0, k)— волновой вектор фотона в локальной системе,
ItxSsdItVds1 величина 7 вычисляется в момент собственного времени S и пределы интегрирования по т растянуты до бесконечных пределов ввиду быстрой сходимости интеграла. Учитывая, что СИ формируется на малом участке траектории, представляем
Itl (s± т/2) в виде разложения
? (s ± f) = f(s) ± -f ? + f Iiri f, (38> :190
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
после чего интеграл в (37) выражается через функцию Макдо-нальда:
iT—YJi^ii+(39)
где I1-IfIf; <«!>=** Sf "т- Д-. «Е—
и
В случае, если FlivFlivK0, FiivFliv=0, существует локально-геодезическая система отсчета, в которой поле является чисто магнитным. В этом случае можно показать, что для ультрарелятивистской частицы с точностью до членов порядка у"2 (у=| 0 выполняется соотношение (&І)——со|2/у. Вводя инвариантную переменную
у = 2/3 № (-$)-з/2 (40)
и выполнив интегрирование по углам вектора k, найдем спектральное распределение СИ
^ __OO
JL =7 9^3 у f Кь/г (X) dx-, / = -4 е2!2, (41)
dy Sn J 3
у
где 1 — полная интенсивность излучения в локальной системе.
Чтобы теперь получить формулы, описывающие СИ в асимптотически плоском пространстве-времени в терминах величин, отнесенных к глобальной системе координат, достаточно преобразовать волновой вектор k в (39), (41) к общей координатной системе по формуле = и выразить "Е?, ZtYi у через параметры, определенные в глобальной системе; к этой системе следует также преобразовать саму величину 7. Чтобы, например, ,получить спектральное распределение СИ ультрарелятивистской частицы, движущейся по круговой орбите в магнитном поле в пространстве-времени Керра (4.30), выберем ориентацию осей системы координат {р} вдоль координатных линий локально-статической системы отсчета
KdX* = (1 - Y'2 dt + 2^sin2e°1/z d<p; Ajdx* =
I S0 ) [S0 (S0 — 2M/o)) ^ VA
a;\dx* = VY0dB-, Aid*» = ( v )1/2 sin O0 dip. (42)
V — 2Mr0 /
Далее нетрудно показать, что а)/у = (и/у, а ускорение частицы, движущейся по окружности, в локально-геодезической системе равно § 14. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЧЕРНЫХ ДЫР
191
(-I2 )1/2 =
[Q20 (Зло2 + а2)- 1],
(43>
где Qo определяется формулой (3.65). Подставляя (43) в (40), получаем (с учетом того, что co = mo)o) с точностью до членов у-1 выражение (20). Переходя к интенсивности излучения, отнесенной к координатному времени Бойера — Линдквиста I = = 7(goo +соо^оз), Для величины I получаем из (41) найденную выше формулу (29) [216].
Приведенные выше рассуждения справедливы и для уравнения Дирака, записанного в локально-геодезической системе отсчета. Можно поэтому утверждать, что и квантовые поправки к спектру СИ в этой системе будут определяться выражением (13.44), справедливым в пространстве Минковского. Произведя: соответствующие преобразования переменных, для мощности СИ ультрарелятивистской частицы в поле Шварцшильда с учетом квантовых поправок из (13.45) найдем (в системе H=C=G = 1)
где р, — масса частицы. Соответствующая формула для метрики Керра имеет вид
[216, 217]
-t-
(44)
e2Y4 g2
6 QgrJ/A0
1 —
55/3 Y2 g
16 и- ^r2Q2Vbl
•о
(45>
В этих формулах г0 является функцией у, поэтому зависимость квантовых поправок от энергии иная, чем в случае плоского пространства-времени. ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
§ 15. МАЗЕР-ЭФФЕКТ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Известно, что электроны, движущиеся в магнитном поле, образуют среду, характеризующуюся существованием отрицательного поглощения электромагнитных волн определенных частот. Эффект имеет важное значение как в практических приложениях 1210], так и в астрофизике [228]. Возможность мазерного эффекта на циклотронной частоте была показана в 1959 г. независимо А. В. Гапоновым [229] и Ю. Шнейдером [230]. На основе этой идеи был создан новый тип мощных СВЧ-генераторов, названных мазерами на циклотронном резонансе, или гиротронами. В работах [203—206] было показано, что для существенно релятивистских частиц в принципе возможно получение мазерного эффекта и на высоких гармониках циклотронной частоты. Отрицательное поглощение электронами в магнитном поле обусловлено релятивистскими добавками в законе зависимости энергии от скорости. Позже было показано, что для многопериодических систем мазерный эффект может иметь место и в нерелятивистском режиме движения [23 It—233, 235]. Оказалось, что такая возможность может реализоваться и для частиц, движущихся в окрестности черных дыр [234, 81]. Общие соотношения, связывающие мощность суммарного эффекта индуцированного излучения и поглощения с мощностью спонтанного излучения квазиклассических систем, были получены в [211—212] и позже переоткрыты в теории лазеров на свободных электронах.
