Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; ВЛИЯНИЕ
РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ; КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ
Традиционное описание СИ [20] строится на основе разложения поля излучения по плоским волнам. В случае искривленного пространства-времени, содержащего черную дыру, плоские волны не отвечают симметрии задачи, и вместо этого осуществляется разложение полей по спиновым сферическим гармоникам. Такое описание синхротронного излучения полезно сначала осуществить в пространстве Минковского. Распределение излучения по мультиполям является «дополнительным» к угловому распределению. :168 V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
В случае нерелятивистских частиц испускание высших мультипо-лей подавлено, это находит свое отражение в отсутствии резких максимумов в угловом распределении. Для ультрарелятивистских частиц существенно именно испускание высших мультиполей, с этим можно связать сужение конуса, в который излучают быстрые частицы около направления вперед [218].
Формализм изотропной тетрады в пространстве-времени Мин-ковского
Разложение электромагнитного поля по мультиполям наиболее просто проводится в формализме Ньюмена — Пенроуза [48— 51]. Введем комплексное векторное поле
F= Е + ІВ, (1)
где E и В — напряженности электрического и магнитного полей, и рассмотрим проекции вектора F на единичный вектор в радиационном направлении Zv=(Fer), а также комплексные проекции
F± = -pL. (Fe ± іґ„), Fe = (Fee), Fv= (Fetp), (2)
где ег, ее и еф — сферические орты. В результате преобразования системы уравнений Максвелла (включая однородные уравнения, не содержащие плотности заряда и тока) получим систему из 4 уравнений для 3 комплексных функций Fr, F±:
2). Fr + X1F+ = 4п (р + Jr), 330rF- - .Sf0Fr = 4nrJ+, 1 г т у 2
C0tFr + VjL JZ+F_ = 4л (р-Jr), -2)+rF+ + * %+Fr = 4nrj_, т У 2
(3)
где 3)п, 3)п+, Ss, Ssv — операторы (4.35)-(4.37) при а=0, M = O; р — плотность заряда: Jr, J± — проекции плотности тока.
Преимущество использования комплексного векторного поля F состоит в возможности получения разделенных уравнений для проекций F±. Заметим, что в силу поперечности электромагнитного поля для полного описания излучения в волновой зоне достаточно знать одну из комплексных проекций, например F_. Действительно, для расходящихся волн на большом расстоянии от источника выполняются соотношения Ee = B4, Ev=—Вв, т. е. F~=y2(Ee—iE4). С помощью системы (3) нетрудно получить уравнение, которому удовлетворяет функция F_. Для этого подействуем на второе уравнение из системы (3) оператором 1/гУ2і?о. а на третье — оператором l/r3)i+r, затем полученные уравнения вычтем одно из другого. В результате для функции г|з=r2F_ будем иметь « 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; КВАНТ®ВЬШ ЭФФЕКТЫ, 169
2 д2 , о д . 2 'д2 . 1 д I . D д \ ,
¦ г2--H 2г--H г2--1---sin 6- +
' " " \ дв J
dt2 dt dr* sin 0 <?Є
г|з = 4 nJ; (4)
+ 2i CosO^--1
sin2 0 V <?q>2 <?q>
где J = r3[l/y23?o(p—/г)—SD\+rJ+]. Разделение переменных в уравнении (4) осуществляется путем разложения
OO /
?=^0 2 2^-1^(0,9).5^(/-) (5)
—оо /=I ОТ=—/
по спиновым сферическим гармоникам (Д.16). Радиальная функция Slf (г) при этом подчиняется дифференциальному уравнению
Jr2 JjL + [aA*-2to>r-/(/ + 1)]} ft? (г) = Jla (г),
(6)
оо 2я я
Jla (г) = 2 j dt J" dcp J sin 0d6e-'«" (6, ф) л
—оо о о
запаздывающее решение которого может быть представлено в виде ,
г • •
Я?'(г) = їй" (r)J'r^{ґ) Ji°{ґ)^r +
О
+
QO
(7)
Здесь и /?"Р(г)— два линейно независимых решения соот-
ветствующего однородного уравнения, первое из которых регулярно в точке г = О, а второе представляет при г-»-оо расходящуюся волну; W — вронскиан, составленный из этих решений. Решения Rln и Rup выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию (функции Бесселя и Ханкеля):
(Г) = (-1)? 1^', (2тг)1+хе-^г Ф (/.+ 2, 21 + 2; 2йог) =
=-(-1')' ге~іш 4- ^7eim
/ (г —f— і) dr
Rw (г) = (2ісогУ+1е~іагФ (/ + 2,21 + 2,— 2шг) + :170
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
+ (— 1)'+I ~(2тг)~!е~Шгф (—1+1, —21,2юг) =
= _/^co_rg_i(ar JL[V7e^H\»m(cor)], (8)
при этом вронскиан и> = 2і©.
Распределение мощности СИ по мультиполям
Для случая движения заряда е по круговой траектории радиуса г0 с угловой скоростью ©о в плоскости, ортогональной полярной оси, находим [218]
/ = 1 от=—'
-^o-^-Y;m^f,oyV7jl+l/2^r))} . (9)
Введем мультипольные параметры Стокса Itm, Sim, А,= 1, 2, 3, на основании соотношения
2я Я OO -H 3
lim-i-j ApjSinedBV,= (7""-^ +S^). (Ю)
О О '=I от=1
где Oijx — матрицы Паули. Полная мощность излучения при этом будет равна
2Я Я оо I
I = Iim J йц, J sin 6d6 (El + E*) = ? J] //(Я. (11)
j 0 0 Z=I т=1
Определяя компоненты электрического поля из разложения (13.9), находим
'L=^L=O. (12)
что свидетельствует об отсутствии круговой поляризации проинтегрированного по углам излучения мультиполя с заданными I и т. Отличные от нуля параметры Стокса определяются формулами
, 4я2е2со ( I,, /я Чт~-
WH-D
