Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ds= (g Hvdx^dxv)1/2 = ds (1 + h^iPi?) 1Z2 (35)
(величины без волны относятся к фоновой метрике guv). Разлагая по Zitiv, в первом порядке получаем уравнение
D ds
1 — — \ И J = — "a"? - — Kaua
о ар I » о dxfi ds
2 ^ )
= -L A?--- IiliaUa, (36)
в правой части которого первый член также имеет структуру, аналогичную правой части (32). Левая часть (36), как и в скалярном случае, имеет смысл производной от обобщенного импульса частицы (более подробное обсуждение уравнений движения в скалярном и тензорном полях см. в [190]). Опуская полные производные и подставляя в соответствии с общей теорией в правые части (32), (33) и (36) полуразности соответствующих запаздывающего и опережающего полей, получим следующее универсальное уравнение:
--^-т =«''»"• <37>
где сила радиационного трения равна
о/Г=<7<-^-, (38)
дх» дАгай
(39>
№=T^izr (4Q> § 12, РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ В ПОЛЕ КЕРРА
163-
в скалярном, Электромагнитном и гравитационном случаях соответственно. Здесь символом рц обозначен обобщенный импульс частицы (входящий в левую часть (32) и (36)). В случае фоновой метрики Керра g„,, не зависящей от x° = t и лг3=ср, второй член в (12.37) для временной и азимутальной компонент вклада не дает, и мы имеем
^L= ^f А = 0,3. (41)
ds
В отсутствие силы радиационного трения уравнение (41) выражает закон сохранения энергии и проекции углового момента частицы на ось симметрии поля Керра. Рассмотрим теперь радиационные потери за все время движения (предполагая, что они конечны, в противном случае те же рассуждения можно провести для средней мощности)
-(-1)л J IsiAad ds, (42)
—со
где знаковый множитель соответствует выбранной сигнатуре метрики. Интегрирование в (42) следует проводить по невозмущенной траектории (все рассмотрение ограничено первым приближением теории возмущений). Радиационные поля в правых частях (38) — (40) строятся с помощью функций Грина (16):
(X) = JsGrad (ж, X')-J(X1)VzzJd^X', (43)
где источники при различных s описываются формулой sJ(x) = J 8* (x,x(s'))(-g)-1/2 |s|Hds'; 0H = q-, гН» = еи»-,
ZHiiv=IiuW (44)
и дельта-функция определена соотношением
б4(х, х')#х' = 1. (45)
I'
После подстановки (16) в (43) интегрирование по х' выполняется с помощью дельта-функции, и остается интеграл вдоль мировой линии частицы по параметру s' — моментам «излучения». Искомое поле следует затем взять на мировой линии частицы в момент S и проинтегрировать по s. Результат можно представить в виде скалярного произведения полевых мод на функцию источника [113]
т_ \л/з со
л**-J] jr^flH (
1тч>р
4- е (Ы) t_st; I (Р 5лаоч,п (/mcop, х) ¦ SJ (*)) |
I(Ps:xout (/mcop, x).si (я))I2+
(46)
fe-s _ _* i/n _down/f„,___ „\ i/.,\\i2
'164
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
В силу соотношений (7.106) и (12.7) это выражение не изменяется при замене іS-M-—s. Таким образом, результат не зависит от выбора калибровки потенциалов. Сравнивая (46) с выражениями для радиационных потерь, вычисленными через потоки в волно-вых зонах (/•*-»¦ ±оо), можно установить соотношение
p pcd i
|s|© Л = |s|®i4 + |sl© А
(47)
для всех S и A = 0, 3 (учитывая (7.106) и (12.7). Таким образом,, полученные на основе вычисления силы радиационного трения (локально) потери энергии и проекции углового момента на ось симметрии частицы в поле Керра совпадают с соответствующими величинами, рассчитанными в волновой зоне. Для мод с ak<® второе слагаемое в правой части (47) отрицательно (суперрадиация), т. е. радиационные потери меньше полной интенсивности излучения на бесконечности. При со = 0 (т. е. для покоящейся частицы) потери энергии не происходит ((46) обращается в нуль для Л = 0). Однако потеря момента по-прежнему происходит, так как при A = 3 второе слагаемое в (12.46) остается отличным от нуля. Обсудим этот эффект подробнее.
Длинноволновое приближение и статический предел Пусть частица движется достаточно медленно, так что излучаемые частоты удовлетворяют условию сйМ<СІ. В этом случае все вычисления удается выполнить аналитически, воспользовавшись выражениями (7.134) для радиальных функций. Подставляя эти выражения в (16), находим при г, г'^>М
п N+S*
sGrad(x, *') = У і—-—
' Lx [(2/+1)!]2
Imusp
(PST* (X)M6, ф))(Э
<g>(PsT*(x')sZ(6\ ф'))• е
—to«—'') ГQ—4s+ 21
+
IOsI20'<7)2S
4 (M2 — а2)
z-s+1
[(/+s)!}2 (rr')l+Sjr
X
8 Mr+ks Г (I +1 +_2iQ) (/
X
Г (2 iQ — s)
_s)! I2 Г(1 —s + 2t'Q)
I Г (1 + s + 2tQ)
(48)
При со—>-0 основной вклад в сумму по / в первом слагаемом в фигурных скобках дает минимальное I= |s| (за исключением случая s = 0). Во втором слагаемом сходимость ряда определяется отношением Mjr. Если интересующие нас значения г^>М, то основной вклад также будет давать член с I= |is|. Относительная величина вкладов от первого и второго слагаемого в фигурных скобках при этом будет различна, однако мы будем удерживать их оба, поскольку они имеют разный физический смысл (описывают излу- § 12, РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ В ПОЛЕ КЕРРА
