Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(IMf)
+
dY Im(Q)
2
Є=Я/2« 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; КВАНТ®ВЬШ ЭФФЕКТЫ, 171
J3 -
jIm'
2яае2ш
-1 +
lml(2<+l) 1
'С+1)
YlmI-
~Г (Vr0J^iz2(Oir0)) dr0
—(О?
dY im(Q.) dQ
Є=Я/2
(13)
в которых значения сферических функций и их производных при 0 = л/2 следует взять из (Д. 171).
Нетрудно показать, что мультипольное разложение излучения нерёлятивистской частицы (©o^o^l), быстро сходится:
22'+3яе2ш
I Im —
1(1+1)гв
22'+^re2O)
/1
L (2/+1)1 J
(Cor0)2+1
(/+I)2
Ymi-Y
+
WlmW 2
dQ Є=Я/2_
/!
X
(/+ I)2
(2/ + 1)! YlmI-Y
'K0)2'+1
— 1 +
—шого
<QW 8) d0J
Iml (2/+1)
Ф+1)
2
Є=Я/2,
X
(14)
(15)
В случае ультрарелятивистского движения основной вклад в излучение дают мультиполи с 1, |т|^>1. Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться асимптотическими разложениями бесселевых функций при больших значениях индекса в терминах функций Макдональда Кі/з, К2/з [197]. Вводя обозначения
¦ф2 = 2у2 1~~т
у=—ту~
г= -f У (1 + 1P2)372. Y = (1 - "о2го2)-1/2.
(16)
будем иметь (считаем т>0)
Чт-
4 e2m 1 + 1|)2 Sn2Y3 t
¦ф2 K\? (Z) sin2-^ (1—т) +
+ (1 + ф2) K2 (г) cos2 -f (1-т)
J3 = 2g2m 1+t2
/т Зл2у3 t
г|>2 K2lf3 (z) sin2 -?-(/-т)-
-(1 + і|>2)]Д|/3 (г) cos2 (/ — tri)
(17)
(18)
Ввиду быстрого убывания функций Макдональда при больших значениях аргумента эффективная область изменения \т\ про-:172
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
стирается до значений порядка -у3. а область изменения числа I ограничена неравенством
'¦" ^Tl ^Y-2- (19)
\т\
Существует простое соотношение между угловым распределением излучения ультрарелятивистской частицы, усредненным по ^азимутальному углу, и распределением излучения по мультиполям. Вычислим среднее значение cos2 0 по спиновым сферическим гармоникам при /^>1,
'я I
(cos2 6> = 2я f I(6, ф) 12 COSa Є sin 6d6 = OL-. (20)
( J 2у2
° і -
Видно, что при фиксированном значении номера гармоники т излучение мультиполя с заданным I (т. е. согласно (16) с заданным г|)2) отвечает определенному среднему значению угла излу-•чения по отношению к плоскости орбиты, причем зависимость (cos20) от I монотонна. Учитывая1 квазинепрерывность распределения по / и т при больших значениях этих чисел, перейдем от суммирования к интегрированию по г|> и у
эа I ОС OO OO--OO OO OO
/=1 OT=I О О /=1 m=l О О
Подставляя (13.17) и (13.18) в (13.21), будем иметь
+ *!,,(*)]. (22)
= {^-y^-W 4.(.)-(1 + f) «•„(.)]¦ (23)
Интегрирование (22) по г|) и у приводит к известному выражению для полной мощности синхротронного излучения
/=JL4y*=JL4(jlv (24)
3 г2 3 г2 \ (і;
Заметим, что хотя формула (22), выражающая распределение мощности излучения по мультиполям, внешне схожа* с формулой для спектрально-углового распределения СИ [20], однако параметр г|) в нашем случае имеет иной смысл (см. (13), (16)).
Полученное выше выражение (9) для электромагнитного поля заряда, движущегося по окружности, справедливо при всех г>г0. Аналогичное выражение в терминах разложения по цилиндрическим функциям см. в [219]. ¦ <т.« 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; КВАНТ®ВЬШ ЭФФЕКТЫ,
173
Классическое радиационное трение
, Движение и излучение релятиристского электрона в однородном магнитном поле имеет различный характер в зависимости от величины трех параметров: отношения силы радиационного трения к силе Лоренца
ri = —а 3
в.
а =
1
137
'Br =
= 4,4Ы013Гс, (25)
параметра, определяющего квантовую отдачу при излучении,
BE
X =
В,
(26)
ii параметра, определяющего квантйвание орбитального движения
В
/=
в.
(27)
(в дальнейшем рассматривается только случай
На рис. 9 изображена плоскость Efn, BeIB, которая разбива-«ется линиями г) = 1 и х=1 на три области: I. т]<1, %<1 — область классического движения с малым радиационным трением; II. 7)>1> Х<1 ~ область классического движения с большим радиационным трением; III. %> 1 — квантовая область, в которой классиче- в /е ское представление о радиационном е трении теряет смысл (кривая ті = = 1 изображена пунктиром). В области I влияние радиационного трения на движение электрона можно считать адиабатическим, при этом радиус вращения мало меняется за время одного оборота. В области II энергия электрона может существенно уменьшиться во время одно-
Рис, 9. Области классического незатухающего (I), затухающего (II) и квантового ,движения (III) электрона в магнитном поле
2/3 сс
го оборота. Однако и в этом случае влияние радиационного трения на мгновенные характеристики излучения остается адиабатическим [207]. Это связано с тем, что излучение релятивистской частицы, происходящее преимущественно на высоких гармониках:174
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
основной частоты, формируется на малом участке траектории длины А 1~Го/у, где го — мгновенный радиус кривизны. Отношение работы силы трения на этом участке к энергии частицы равно АА/Е = 2/За%, что заведомо мало в классической области.