Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
%1т<о(г о)— J^
2 rO^o
rl + d
,'/2
Зя
Z = — q 3 7
Y2
. 2[m[ 3Y 3g
(1 + Ч>2)] Km(Z), (14) Q^AJ/2(1+^2)3/2, (15)
8
-.3-2. 1/2
г|з2
2Y2
r2Q2 'ObiO
1 -Iw' /і-a'flg.
Подставив (14) в (6) для интенсивности излучения, уходящего на бесконечность, находим
/out __
l,m> 0
4 т Злу2
Фо
т
5 асо Im
'(l+W?/3(2). (16)
Поскольку функция Макдональда при больших значениях аргумента экспоненциально спадает, то, как видно из (15), основной вклад в излучение дают высокие гармоники вплоть до
т т.
-____?__ V3
(17)
Мы видим, что, как и в случае плоского пространства-времени, спектр простирается до гармоник ~у3 частоты основного тона, :184
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
при этом имеется дополнительная зависимость величины mmax от величин, характеризующих гравитационное поле. Покажем, что если радиус орбиты частицы Го приближается к радиусу круговой фотонной орбиты г-,, то зависимость частоты обрезания в спектре излучения от релятивистского фактора у становится квадратичной. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим поведение величины g (12) при r0-»-rT. С помощью формул (3,.63), (3.651) § 3 можно по-, казать, что для заданного е при произведение
Yg - е (Mr0)-'/* ^v -AJ)2 {2г2_ + ?2)> (18>
(rV I ^lvl)
т. е. остается конечным при у-*оо, следовательно, в этом пределе т.сгcoy2. Таким образом, удается проследить переход от режима СИ (ттахсоу3) к режиму ГСИ (ттахсоу2), обсуждавшемуся в-§ 11. Интересно также сравнить распределение мощностей СИ и ГСИ определенной частоты co=mco0 по орбитальному моменту I. Поскольку эффективная область изменения величины ф простирается от нуля до единицы, то I—;|m|<|m|/Y2 при |m|=^Y3 в Pe-жиме СИ и |w|^y2 в режиме ГСИ. Таким образом вклад в СИ при фиксированном т дает большое число мультиполей в преде-, лах AZ~y> в то время как основной вклад в ГСИ, как следует из, результатов § 11, дают мультиполи 1=\т\ и /=-|т| + 1.
С помощью соотношения (Д.28) Дополнения можно показать, что при больших I, \т\
2^ (-1)'-""' + 1 (19>
я У r0a0 г
Подставляя (19) в (16) и переходя ввиду квазинепрерывности спектра от суммирования По I и т к интегрированию по г|з и по параметру
41 ml ^o V^i
раш і Я
находим
dl
dydty 16п2
¦« « г (20>
ЗУ g
(Ssf- \2 -S^7= t (1 + f) Kb* (*)• (21).
\ r0 J r0?*V д0
В результате интегрирования по г|> получаем спектральное распределение излучения
dl ^ зУз
dy 16я
WITsKwifa' (22>
Из этой формулы следует, что при малых у интенсивность излучения растет линейно, при больших у — экспоненциально спадает., § 14, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЧЕРНЫХ ДЫР
185
Спектральная кривая имеет максимум в области гармоник порядка rnmax (17),
Проинтегрировав (22) по у, находим полную мощность излучения скалярных волн ультрарелятивистской частицей в режиме СИ для метрики Керра:
і (_<ісУ2 V___g2
12
I = .
г0
Q3A1x2
biOaO
(23)
Эта величина по порядку превосходит интенсивность скалярного ГСИ (11,48) в у2 раз. При а = 0 формулы (21), (22) и (23) переходят в результаты, полученные в работе [64] для метрики Шварцшильда,
Излучение электромагнитных волн
Как и при расчете электромагнитного ГСИ (§ 11), удобно воспользоваться методом сведения к радиальному уравнению с вещественным потенциалом. Эффективный потенциал в уравнении для -\Х (11.16) при /»1, [т[з>1 имеет простой вид
U =---( , (24)
1 (г2+а2)2 \ А / К '
что совпадает с потенциалом (11,14) в скалярном уравнении в том же приближении. Поэтому для радиальной функции -!^in в точке г0, соответствующей радиусу круговой орбиты, по-прежне-му будем иметь выражение (14), а производная от этой функции по координате г* с той же точностью будет равна
dr*
(-і*)
<ЧГд
У
Го QqAq
Зя Y2 (го + а2) 8
1/2
(1+Ч>*)*2/з(г). (25)
Дальнейшие вычисления аналогичны проведенным в § 11. Для двух независимых состояний поляризации электромагнитного излучения, уходящего на бесконечность (поглощение дырой экспоненциально мало), получаем
4
S
о
¦3jv y4s
ImIQ0A0rO
5 O(I)
Im
h =
QnAi
lOilO
1,т> 0
зя Y2S \Ш\г0
de
(Sl^m
6=Я/2
(\+^fKU(Z),
(І + Ф'Жі/з (2). (26)
Далее можно перейти от суммирования по I и т к интегрированию по ^ и у, воспользовавшись для угловых функций приближением (19), а также соответствующим приближением для производной
r0Q0/n2]/" 1— a2Q0 . (27)
dsZ( Є) 2
de Є=я/2 л Y :186
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
В результате имеем
^ = + <28>
где через / обозначена полная мощность СИ, просуммированного по поляризациям:
/ = -L eygHE" V4A?-1/2. (29>
6
Спектральное распределение излучения найдем, проинтегрировав (28) по параметру
dVe = 9 Уз 1у dy 16л;
оо
^Kb?{x)dx±K2?(y)\ (30>
Заметим, что выражения (28), (30), характеризующие СИ ультрарелятивистской частицы в пространстве-времени Керра, отличаются от соответствующих величин в пространстве Минковского-(§ 13) лишь явным видом параметров у и Это не случайно и связано с локальным характером процесса испускания высокочастотных волн ультрарелятивистской частицей, движущейся (преимущественно) под действием негравитационных сил. Ниже будет показано, каким образом можно получить формулы (28), (30) исходя из результатов теории в пространстве Минковского, ассоциируя последнее с локально-геодезической системой отсчета.
