Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
acuv / дш , 2 (со — Q ?) dQ в
W—2- . (17)
(co-Q?)2 + va Ii дЕ (co-Q?)2 + v2~ дЕ
(Заметим, что величина w обратно пропорциональна постоянной Планка, поэтому выражение (17) остается конечным в классическом пределе h-*-0.) Поскольку производная dQв/дЕ отрицательна, то второй член в (17) оказывается отрицательным при w>Qb (первое слагаемое, пропорциональное dw/dE, как и в случае гармонического осциллятора, положительно). Если величина расстройки ш—Qb частоты мала по сравнению с v, то, учитывая соотношение
dQB/dE = —QB/E, (18) 196
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
из формулы (17) получим
р=ш_ і dw 2Q5 со — Q5 w к ^
V V дЕ V V Ej'
Поскольку QbAoI, ясно, что при некоторой величине расстройки ш—Qb>0 второе слагаемое в (19) будет доминирующим и мощность поглощения окажется отрицательной.
Другой способ получения отрицательного поглощения при взаимодействии электромагнитных волн с квазиклассической системой был предложен в работе [231] и может быть проиллюстрирован на следующем простом примере. Рассмотрим гармонический осциллятор, центр тяжести которого движется по окружности в плоскости 2 = 0 и колебания совершаются вдоль оси г. Считая, что осциллирующая частица обладает электрическим зарядом е, рассмотрим вынужденные колебания осциллятора в поле электромагнитной волны, описываемой тензором /„v. Поскольку невозмущенное движение является чисто круговым, то в первом; порядке по возмущению, вызванному волной, найдем, что вынужденные колебания описываются уравнением
г +Q z2z = f, (20)'
где / — значение вертикальной компоненты силы в точке мгновенного положения частицы:
f=e{fo + Qj%). (21)
Рассмотрим случай, когда функция /, зависящая от азимутального угла ф в плоскости вращения времени, имеет вид бегущей: волны
/=ZoCOS И—ф +в) (22),
с произвольной начальной фазой б. Тогда можно повторить вычисления, проведенные выше для гармонического осциллятора, дополнительно учитывая зависимость силы от координат. При этом в (4) в качестве dA/dt следует подставить
dA /1 dz . г, d/оф \ /лоч
~~dT = eV0z~dt <р~дГ) (23>'
(второй член, имеющий тот же порядок малости, что н первый, возникает при учете зависимости поля от координат). Из. уравнений Максвелла имеем
.^2. ++ ^ = (24),
dz ' dq> dt ' § 15. МАЗЕР-ЭФФЕКТ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
197
причем на невозмущеннои траектории частицы
dfoz _ dfoz і г> а/.
+ ?^.. (25)
dt dt ® дф v '
Опуская в (23) полную производную по времени, вклад которой исчезает при усреднении, найдем для средней мощности поглощения (4) выражение
df
"=-(?- <26>
Повторяя рассуждения, которые привели к формуле для средней мощности поглощения (15.9), получим
P=J^_U___\ (27)
2йг I1 (со — Q(+>)2 + v2 (to — й(-))а + V2/ ' V
где введены обозначения для резонансных частот
Q<±> = Q,±Q2,
представляющих собой комбинации частоты обращения и частоты колебаний. Будем считать, что йг<йФ, тогда Q(±)>0. Мы видим, что в отличие от случая неподвижного осциллятора в рассматриваемом случае усредненная мощность поглощения на разностной частоте оказывается отрицательной. Для суммарной частоты ?(+) по-прежнему имеет место поглощение. Заметим, что при ?,->0 суммарная частота й(+) стремится к частоте колебаний осциллятора Qz, при этом второе слагаемое в (27!) перестает быть резонансным, следовательно, мы возвращаемся к формуле для поглощения осциллятором (9).
Квантовомеханическая интерпретация этого эффекта [212] состоит в следующем. Рассматриваемая система является двухпе-риодической, и ее квантование, согласно правилам Бора, состоит в подчинении адиабатических инвариантов I1, 12
/1,2= $/>1,2^1,2 (28)
условиям
/і = 2зт/шь Z2 = 2л Hn2, (29)
где пи «2 — натуральные числа. В квазиклассическом пределе уровни энергии локально эквидистантны и частоты переходов из состояния с квантовыми числами пи п2 в состояние «і+Si, Пі+Si равны
COS11S2 = (Eni+Sun2+S2—Enun2)/ft = s1q1 +- s2q2, (зо)
где классические частоты
Qu2 = 2пдЕ JdIu2. (31) 198
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
Поэтому в случае совпадения частоты внешней силы с одной из резонансных частот (30) могут одновременно происходить переходы с поглощением («1, rt2)->(«i+Si, «2+s2)' и с излучением (til, Si, O2-S2).
Пусть ffi) = a^i+si.n«+sa—вероятность перехода в единицу времени, тогда мощность поглощения в пределе ft-*0 принимает вид P=Jid)с с —Wn1-S^n2-S2) _
'"ujS11S2 Vu^n1,гаа IIllII2 '
<32>
Для гармонического осциллятора dwjdl~>0, однако, даже в случае, если обе производные в (3,2) положительны, суммарная мощность поглощения может стать отрицательной, если одно из чисел (si, s2) отрицательно. Действительно, пусть для определенности s2<0. Тогда при условии положительности частоты перехода
(?,,S2 = S1Q1 + S2Q2 = S1Q1 — IS21Q2 > 0 (33)
отрицательное поглощение будет иметь место, если производные dw/dIU2, каждая из которых предполагается положительной, удовлетворяют соотношению
dWl < 1?! dw ^ty
дії % д/2 '
В рассматриваемом выше случае Q1 = Qt, Q2=Qz, Si=—S2= 1, и мы имеем отрицательное поглощение на резонансной частоте
