Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вынужденные колебания около круговых орбит
Рассмотрим возбуждение малых колебаний заряженной частицы, движущейся в экваториальной плоскости керровской черной дыры (допускается также аксиально-симметричное магнитное поле) под действием поля электромагнитных волн, принимаемого за возмущение.
В уравнения (3-69) — (3.71), описывающие свободные малые колебания !"(S)=Xfl(S)—z"(s) около устойчивых круговых орбит ^11(S), следует ввести неоднородные члены, в результате чего получаем следующую систему уравнений:
о <2>
где индексы А и В принимают значения 0, <р; индексы a, b — значения г, 0; греческие индексы пробегают 4 значения, величины Y11a и Uu- задаются формулами (3.41) и компоненты силы f" в правых частях уравнений связаны в низшем приближении теории возмущений с компонентами тензора электромагнитного поля Ztiv на невозмущенной траектории соотношением
f*=j- гZv (г0)-2=-V (Я+т- (3)
ц цг"202
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
Здесь е — заряд, р, — масса, ?„ — 4-скорость частицы на невозмущенной траектории, ?" = ^(1, 0, 0, й), Q,=dylcLt — угловая скорость орбитального движения; t — координата X0 на невозмущенной траектории.
,Проинтегрировав уравнения (1) однократно по t, подставим производные
~-=-Уflr+\fAdt (4)
во второе слагаемое в (2). В результате из (2) получим систему разделенных уравнений, описывающих вынужденные радиальные
^ = f + yA$fAdt (5)
и аксиальные колебания
^+fig|e = /e, (6)
частоты Qr и Q0 которых были вычислены в § 3 для различных конфигураций фоновых гравитационного и электромагнитного полей. Заметим, что аксиальные колебания, описываемые уравнением (6), независимы, а радиальные, как видно из (5), сопровождаются азимутальными колебаниями и осцилляциями временной координаты, которые найдем, подставляя решение уравнения (5) В (4).
Далее нам будет удобно перейти к преобразованиям Фурье компонент силы и возмущений Подставим в виде ряда Фурье по переменной ф и интеграла Фурье по времени:
оо оо
f*(t, г, Є, ф)= J dto Y f*(r, Є; со, т)е~ш+іт(7)
—оо m=— оо
а возмущения (t) в виде интеграла Фурье:
00
e(t)= j е We-1«* da. (8)
—00
При подстановке (7j) в уравнения (4)'—(6) необходимо учесть, что на траектории невозмущенного движения ф = Ш, вследствие чего решения |"(со) выражаются рядами вида
OO
?(«>)= E ^(ffl + m?, m), (9)
т=—оо
где коэффициенты двойного разложения обозначены через; 1Ч(о, т). '§ 16. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 203
Вводя обозначение
com = co-тй (10)
и подставляя разложения (7), (8) в уравнения для радиальных и аксиальных колебаний (5), (6), находим
г (со, т) = (Пш, m) + -L- Y^(M1W)) q2 1 2 , (H) |е((о, = (12)
где для кратности были опущены аргументы г, 0 в обозначениях величин /и(г, 0; со, т). Решения для азимутальных и временных возмущений получим, подставляя (11) в уравнение (4), что дает
g>, m) = -i-(со, tri)— /A(m' w) . (13)
Как и следовало ожидать, вынужденные колебания имеют резонансный характер при совпадении частоты вынуждающей силы со с одной из гармоник частоты обращения
com = O, co = mQ, (14)'
а также с одной из комбинационных частот — радиальной
со2 = Йг2; CO=Q^t = (ZnQrbQr) (15)
и аксиальной
со2 = Qe; со = ?jj" = (mQ dt Q6)- (16)
В случае (14) возбуждаются азимутальные и временные колебания, причем, как видно из (11), они сопровождаются также и радиальными колебаниями. Собственные радиальные колебания возбуждаются при выполнении одного из резонансных условий (15), при этом возникают также азимутальные и временные осцилляции. Наконец, аксиальные колебания, являющиеся в линейном приближении независимыми, возбуждаются при выполнении одного из условий (16).
Выражения (11) — (13) формально расходятся при выполнении одного из резонансных условий (14) — (16), для придания им физического смысла необходимо учесть диссипацию. Это можно сделать, сдвигая полюс в комплексную плоскость частоты, т. е. заменяя со на со—iv, в предположении, что частота v, характеризующая скорость диссипации, мала по сравнению с со. В этом случае возмущения, определяемые формулой (8), становятся экспоненциально затухающими со временем. Всюду далее мы будем204
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
считать частоту со в формулах (ll)i—(13) комплексной в указанном выше смысле.
При выполнении одного из резонансных условий имеет место эффективный обмен Энергий между частицами и полем электромагнитных волн. Практический интерес представляет случай, когда фаза электромагнитных волн является случайной величиной и средние значения по фазам
(U = 0; </*> = 0. (17)
Для характеристики поля случайных сил удобно ввести корреляционную функцию
<Р»(О)', m')f f>, tri)} = Ьщгп'Ь (со со') Iiiv (со, т), (18)
удовлетворяющую (в силу вещественности /ц,) соотношениям
Ztiv(со, m) = l'vli (со, m) = Zw (—со, —т). (19)
Напомним, что величины /"(&>, т), входящие в (18), являются также функциями переменных г и 0, то же самое, очевидно, относится и к корреляционному тензору 1"у(со, т).