Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 13. Длина формирования высокочастотного импульса излучения ультрарелятивистской частицы, движущейся по окружности в плоском пространстве-времени (а), вблизи круговой светогеодезической (б)
рости света, проходит этот участок пути за время At'c^Al, и длительность импульса, регистрируемого удаленным наблюдателем с учетом запаздывания, будет порядка
Ato (At') Iy2 ~ AlcJy2-
(1) § 14, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЧЕРНЫХ ДЫР
181
Характерная частота в спектре излучения со ~ (Af)-1, т. е,
MchCOY3ZVOCocooY3 (2)
превосходит в у3 раз частоту основного тона соо^І/^о- Если же ультрарелятивистская частица движется по геодезической, то испускаемый импульс распространяется вдоль близкой кривой на расстояние порядка
Д/гсиСОГо (3)
(рис. 13,6), поэтому длина дуги формирования импульса излучения в заданном направлении к асимптотически удаленному наблюдателю уже не содержит малого множителя 1/y- Поэтому характерная частота в спектре ГСИ оказывается в y Pa3 меньше величины (2), т. е.
согси с/э у2/А/гси c^ Y2/ro c^ ®oY2, , (4)
'> . - - % і .
как это и следует из расчетов, проведенных в предыдущей главе.
Здесь мы рассмотрим излучение релятивистских заряженных частиц, движущихся по круговым орбитам в экваториальной плоскости шварцшильдовой и керровской черных дыр при наличии внешнего магнитного поля (соответствующие траектории были описаны в § 3), На примере этой задачи можно проследить переход от режима синхротронного излучения в плоском пространстве-времени к режиму геодезического синхротронного излучения.
Излучение скалярных волн
Выясним особенности излучения в синхротронном режиме сначала на модельном примере излучения скалярных волн частицей, обладающей электрическим е и скалярным qc зарядами, которая движется по круговым траекториям радиуса гс вокруг керровской черной дыры, погруженной в однородное магнитное поле. Будем предполагать, что безмассовое вещественное скалярное поле г|з взаимодействует с гравитационным полем минимальным образом. Задача сводится к решению уравнения (7,123) при s = 0 с источником, описываемым формулой (11,35), в которую следует подставить параметры траектории (3.63t) — (3,65), Повторяя стандартные вычисления, получим для радиальной функции Rlmei, (со=тсо0) выражение
Rlma = 2 VTnqc-^ («°)-1 [(rl + а2)(г2 + а2)]~^S^ (-f) X
X [y$L (г) IiL (г0) 6 (r-r0) + xl'L (г) А (г0) 6 (г„-г)], (5)
где введены новые радиальные функции в соответствии с (7,56), Воспользовавшись формулами (4.27І) и (4,22) для мощности излучения, уходящего на бесконечность и поглощаемого черной дырой, получим :182
V, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
/out= ^QJxiL. (л.) І2;/іп= ^~сма(г0)\2\х\\
l.m>0 l,m> О
Ctm = 2тсо0<7с («°)-2 (ru + а2)-11 SZ (-f) • (6>
Частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью, как и в случае плоского пространства-времени, излучает в основном на частоте основного тона, этому соответствуют мультиполь 1=\т\ = = 1, Применив приближенные формулы для радиальных функций, справедливые при условии Мсо4;1 (см, § 4), которое заведомо-выполнено в нерелятивистском случае, находим
2
/out = до»_а«) / (r0) [(1 + 2xf + 4Q2], (7>
где
/in = --tll°}— m _(- 2x)sina + 2Qcosal2, (8>
2 4 Шг+ 1 + 4Q2
/(^»^(^(l-^i'^ + a' + ^-). (10).
Интенсивность излучения, падающего на дыру, содержит осциллирующий фактор. Это связано с тем, что вследствие рассеяния на потенциальном барьере «уходящее» решение содержит в ближней зоне падающую и отраженную волны, между которыми, возникает интерференция.
Обратимся теперь к вычислению мощности скалярного излучения ультрарелятивистской частицы, движущейся по круговой траектории, достаточно удаленной от замкнутой фотонной орбиты, В этом случае излучаются высокие гармоники частоты обращения и для нахождения интенсивности излучения Zout (величина. Zin экспоненциально мала из-за малости коэффициента прохождения) достаточно вычислить значение радиальной функции %іп в точке г о в приближении высоких частот. В отличие от случая ГСИ (§ 11) сшивание квазиклассических решений здесь необходимо-провести не в вершине потенциального барьера, а на его спадающем участке (рис. 14). Действительно, из уравнения 0V(r<, со) = О-(оV — эффективный потенциал (7.58) при s=0), которое определяет положение «точки поворота» rt, с учетом выражения (3.65) для частоты обращения при находим
А»
rt— Го —— r0g
fP r2Q2
Г rfitir
о"о. + 2 _LHmj_/i_a42§
(11>
где g=Qo2 (Зг о2 + о2)—1 • (12) § 14, СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЧЕРНЫХ ДЫР
183
Рис, 14. Эффективный потенциал в радиальном волновом уравнении. Кружками обозначены положения ультрарелятивист -ских орбит заряженных частиц. Пересечение ГОрИЗОНТаЛЬНЫХ ЛИНИЙ С КРИВОЙ Veff
задает положение точек поворота, в которых производится сшивание квазиклассических решений
U 6
.Уравнение (7.57) в окрестности точки rt принимает вид
dq3
•<7Х = 0; д= —
m2Arg
(rs + а2)3
rtJ
\ 1/3 / . «ч
(Г —Г t).
(13)
Его решением, имеющим асимптотику типа хіп> является функция Эйри Ф(<7). Нормируя решение в соответствии с принятым в § 7 соглашением (при у0= 1) и переходя к функции Макдональда Ki/з, Для %Zm(r0) имеем [76]
