Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ю — _ _ г _
mcr(l+2q) 4 т
п
(гр+ЗМ) л
/V^r
(18)
(19)
Заметим, что точки поворота в масштабе гр также близки, так как (г2—Г]) ~гР!у, и при у-^оо сливаются. Следовательно, для применения метода ВКБ следует использовать технику сшивания квазиклассических функций в окрестности максимума потенциального барьера.
С помощью разложения ВКБ в областях | г—гР|3>гР-у получим решения
в в
ехр (—te H J (-VO1/2^) +а exp(te(co) j(—V) 1^dy),
Xln = (—4V(r))-
1/4
У.
Vi
У •
r>r2,
X»P = (—4F (г))-'/4
(20)
xexp(ie(k)^(-V)^2dy), r<rv
S
ехр (ie (<o) f (-V)1" dff), г > rt,
Уг
г (ко) [4-exp(-ie(fe)
У
--=T exP (?'е J (- УУ'2 dy) J. r<rv
у (21)
где у = г*—г* и множители е(со) = со/1 CD I и e(k)=kl\k\ введены для согласования с асимптотиками (11), (12). Учитывая соотношения (9), легко показать, что при г*-*-±°° формулы (20), (21) действительно переходят в (11), (12), причем о и т совпадают с ia и т по модулю.
Для отыскания коэффициентов прохождения и отражения следует произвести сшивание решений в точках поворота. Это осуществляется с помощью точного решения уравнения (10) вблизи вершины барьера. В этой области можно аппроксимировать V(г) параболой (совпадающей с V в точках Го, ri,a)
V=pb-b*y*, (22)
где
b2-
1 d*V
2 dy»
зсо'грд; (ri+ а»)*
(23) -§ 11. ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
145'
р=Ш- = 1 + 2*7+ — (24)'
b я /Tifr
Решением уравнения
*?--V(y)X = О (25>
dy2
являются функции параболического цилиндра Dv(±2) индекса
V = ¦-1 /2[ (1 + ірг (со)J0 (у) + (1 + ірг (k) 0 (—у) ] (26>
от аргумента
Z = Vby [(18 (со) -1) е (у) + (ie iky-1) е (—у). (27)1
Используя асимптотические формулы
zvexp(—z2/4), у-*— оо,
Dv (г) = і __ Jnv (28>
ехр (—г2/4)-V2л zV+,r(_v) ехр(г2/4), у++оо,
и приближенные значения интегралов в окрестности точек поворота
у. у
^(-Vy'2dy ~j(-Vy/*dy ~ в (у) — Inlyl^j +const, (29>
у\ vi
можно показать, что решения (20) и (21) согласованы со следующими решениями в окрестности точек поворота:
(-Hie-) «•w ^ta- (30>
.—яр/8
Х"Р(Г)СЛ ?t<PUP ' (31)
где фіп и фир — некоторые фазы. Модуль коэффициента прохождения т (фаза в дальнейшем не существенна) определяется формулой
|Т 1 =
е "яр/4 ^f 1 + Ip
(32)
Таким образом, совокупность формул (30), (31) и (20), (21) определяет радиальные моды in и up в непосредственной близости от частицы и в волновых зонах соответственно. Заметим, что модуль аргумента функций параболического цилиндра при г = гр, имеет порядок
12 (гр) I соУЙ/у2<1 (33) 146
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
и можно положить
Dv (Z (гр)) ~ Dv (0) = 27Vn = (1+г)2^ (34)
r\T~T"J 2' 2 Т(—v)
(при переходе ко второй форме записи использована формула удвоения аргумента для гамма-функции). Излучение скалярных волн
Для случая s = 0 построенные выше радиальные функции непосредственно связаны с физическим скалярным полем. Поэтому дальнейшая задача сводится к нахождению решения неоднород-лого уравнения (7.7) с источником
0Т= і^?-б(г-гр)б (б--il)S(Cp-OV), (35)
который с точностью до коэффициента представляет собой след тензора энергии-импульса частицы, движущейся по орбите радиуса гр в экваториальной плоскости метрики Керра с угловой скоростью coo (3.18), qc — скалярный заряд. Временная компонента 4-скорости и0 находится из соотношения
u°(goo+coogo3)=Y (36);
и равна
ыо = у^±ЗМ. (37)
Гр — М
.Источник в радиальном уравнении
оTWr)= y^"7 0sr(f)6(r-rp) (38)
¦содержит сфероидальные функции при O = я/2, которые при больших \т\ дают множитель |т|1/4, поэтому основной вклад в излучение будет давать область значений |т|3>1. Запаздывающие решения неоднородного радиального уравнения получаются с помощью функции Грина (7.111) при S = O
P (Л І6(С0) УЫ(Гр-М) „у (_п_\
0*Vmco (г) — {г2 + а2)т у(Гр+Ш) °Ьіт [ 2 ) Х
X (Х'ш(г) Х«р (Гр) в (гр г) + Х«р (г) Xі" (Гр) Є (г Гр)). (39)
Подставляя (39) в (1) и переходя к асимптотическим областям г*-+±оо, будем иметь
/=1
(гісої)-'/2^-^+^, r'-oo, (40) (Шг+ \k\rV2 e~ikr'+i'^ , г* ->--оо, -§ 11. ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
147'
где со = тсо0; фоо и ф+ — некоторые фазы, а коэффициенты Gim равны
(для функций D4 в точке г = гр использованы значения (34)). При больших /, I mI сфероидальные гармоники имеют максимум в; окрестности 0-~я/2 с шириной
Д0со|т|_!/2 (42)
(см. Дополнение). Экспоненциальный множитель е~пр/8 в (41) выделяет в сумме (40) по I и т. узкую область значений в окрестности /=| т.I (q=0), с хорошей точностью в этой сумме можна оставить всего один член q = 0. По той же причине эффективная область
ИЗМЄНЄНИЯ ТЇХ прОСТИрЗеТСЯ ВПЛОТЬ ДО fflG/DtTlcr (27), и, поскольку AttcrCOY2, находим, что высокочастотная часть излучения сосредоточена в узкой области углов
Д0соу-1 (43)
около плоскости (движения) 0 = я/2.
Подстановка асимптотики (40) при г-*-оо в (4.27) приводит к. следующему выражению для интенсивности излучения, уходящего на бесконечность:
